Kronecker: Über orthogonale Systeme. 1079 
ist also für jeden beliebigen Werth von 2 eine Invariante orthogonaler 
Transformationen der Form DU 0%, und es kann daher die nfache 
Mannigfaltigkeit dieser Invarianten durch die nfache Mannigfaltigkeit 
von Determinanten: 
+ %|, [2% + wel, ----- a. +W%| Gk=12,...n 
repraesentirt, d. h. es kann jede Invariante als eine Funetion von n, 
verschiedenen Werthen von z entsprechenden Determinanten: 
| de + u | Gyk 1,2 Mm) 
dargestellt werden. Zu einem direeten Nachweis des Bestehens jener 
partiellen Differentialgleiehungen (100) genügt es hiernach zu zeigen, 
dass sie erfüllt werden, wenn man darin für Inv. (...%%,...) die 
Determinante | 2. + “| setzt, oder dass in diesem Falle der mit (99) 
bezeichnete Differentialausdruck, nämlich: 
0 9|2dr + 204, + u | ee l2d4 + Wr | 
> Gh 
Urn — I, KIN 2 EN) 
ouy, 
R—ı 

U 
Ir 
ou, 
bei Vertauschung der Indices ı und r seinen Werth nicht ändert. 
Der angegebene Differentialausdruck kann zuvörderst in folgender 
Weise dargestellt werden: 
„old et U; [ar = | 26, + u; | 
u red, 
et dur, 
Da nun das System der Grössen 20,.+ u, ein symmetrisches ist, so 

BaR—oem): 
. A N ” . 
ist der Faetor von 2d,,+ %,, in der vorstehenden Summe genau die 
. - .. N . . 
Adjungirte der Grösse 20,,+u,,., d.h. es besteht die Relation: 
d | 20 + Ur | 
() A — adj. (2d,,+ %,,). 
Un, 
Da ferner für" jeden ‚der Werthe r = 2,3,...n: 
hz=n 
>, (28 ıh Ar U) ad). (20) hr + U —uo 
hi 
ist, so redueirt sich jener Differentialausdruck auf das Glied: 
B d [20 + U. | 
7 O1, i 
von welchem, vermöge der Symmetrieeigenschaft des Systems (2,) 
evident ist, dass es bei der Vertauschung der Indices ı und r unge- 
ändert bleibt. 
In dem schliesslich noch zu erwähnenden besonderen Falle, wo 
das Formensystem (S) aus n linearen Formen: 
kn 
D, Und; WAL In) 
Kr 

