1082 Sitzung der phys.-ımath. Classe v. 31. Juli. — Mittheilung v. 22. Mai. 
im Monatsberieht vom Februar ı873 abgedruckten Aufsatzes' gezeigt 
NS s 5 0) 
habe, die folgende Reihenentwiekelung von ree. (d, — 2.) nach fal- 
lenden Potenzen der Variabeln z: 
e en 
(4) rec. (er &;) > 
_i) 
Denn der Definitionsgleichung für ree. (dj. — 2;.), wie sie gemäss 
der Gleichung (3) zu formuliren ist: 
i_n 
(5) > (2d — zu) rec. (2d;; — 2) — du (h,k=1,2,...n) 

BORN DER A: 
wird genügt, wenn man für rec. (28, — zu) die Reihe auf der rechten 
Seite der Gleichung (4) substituirt, da alsdann der Ausdruck auf der 
linken Seite der Gleichung (5) in folgenden übergeht: 
in 
Sn zur > (28 An zu) Er 9 
r=0“ Jen 
welcher bei Anwendung der Gleichung (1) sich auf die Differenz: 
r—& „en r=o „et 
S -kh a “ch 
en > „rt > 
rzo ro 

d. h. also in der That auf d,. redueirt. 
In der Gleichung (4) sind die Elemente der durch Composition 
mit sich selbst entstehenden Systeme als Entwickelungscoeflicienten 
dargestellt. Man kann dies noch dahin formuliren, 
dass die nach fallenden Potenzen von 2 fortschreitende un- 
endliche Reihe: 
= a > 2 x, Y GRZTI any 
deren Üoeflieienten bilineare Formen der je n Variabeln 
‚y sind, gleich der Reeiproken der bilinearen Form: 
z > L.Yr — > Zi Di Yr (k==1,.2,..M) 
k i,k 
ist, 
und hieraus ergeben sich unmittelbar die nothwendigen und hin- 
reichenden Bedingungen dafür, dass aus wiederholter Composition 
eines Systems mit sich selbst zwei Systeme hervorgehen, welche 
einander gleich oder auch nur in Bezug auf ein gegebenes Prim- 
modulsystem einander congruent sind. Dabei ist jedoch die Voraus- 
setzung hinzuzufügen, dass die Determinante des Systems nieht gleich 
oder eongruent Null sei. 
! „Über die verschiedenen Srurm’schen Reihen und ihre gegenseitigen Bezie- 
hungen«. 
