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Kroxzcker: Algebraische Reduction der Schaaren bilinearer Formen. 1227 

hat. Dabei kann angenommen werden, dass m ı ist. Denn wenn 


m — o wäre, so würden beide Formen $ und W durch die Substitution: 
, 
Ir — Cor Lp — Cor %r KT,2,... mn) 
(„Z0 vorausgesetzt, von x, unabhängig werden; die Anzahl der 
Variabeln x würde also durch lineare Transformation verringert 
werden können. Man kann aber offenbar die beiden Grundformen 
der Schaar up + vl sehon von solcher Beschaffenheit voraussetzen, 
dass weder die Anzahl der Variabeln x, noch die der Variabeln 
dureh lineare Transformation verringert werden kann. 
Wendet man nun jene Schlussweise an, welche ich schon in meiner 
oben eitirten Mittheilung vom ı8. Mai 1868 bei der Darstellung von 
Schaaren quadratischer Formen mit verschwindender Determinante 
benutzt habe, so erschliesst man, dass die m + ı Ausdrücke: 
m 
ı > Chr Fr (= 0, Kolerera1 772} 
k=ı 
von einander linear unabhängig sein müssen, und zwar in dem Sinne, 
dass keine Relation: 
Done > (RZON ERSTEN KUN 2) 
h k 
existiren kann, in welcher die mit a, bezeichneten Coeffieienten von 
w unabhängige Constanten wären. Denn wenn eine solche Relation 
bestände, so würde die aus (A) hervorgehende Gleichung: 
ID ae: = re 
> IK 
MAR DRM 
g h ı ’ r 
wenn zur Abkürzung: 
gh i=h+tm-+ı 
u EN)! h=0,1,...m —ıI 
g9=0 i=h+ıI 
gesetzt wird, in folgender Form dargestellt werden können: 
> few + > je. io Kennt ') 
h,k h,k Eee 
in welcher also kein mit w” multiplieirtes Glied vorkommt. Ersetzt 
man hierin /,; durch seinen Werth: we, — \%;, so enthält die erstere 
Summe nur Potenzen von , deren Exponenten kleiner oder gleich m 
sind, die letztere nur solche, deren Exponenten grösser als m sind. 
Es müsste also jede der beiden Summen für sich gleich Null sein; 
aber die Existenz einer Gleichung: 
Y KIR h=0,1,...m—ı 
I m few m Be ) 
h,k 
