Kronxecker: Algebraische Reduction der Schaaren bilinearer Formen. 1229 
bestimmt sind, so wird die Schaar ub Hu, oder, was dasselbe ist: 
Me 
S | (ur + Vi) ar, 
— 
k=ı 
in eine Schaar von folgender Gestalt transformirt: 
h=m 3 y pP = 8: 
7 Y N x 7 
> un, tv) + D (U + vba) Yr ; 
h=ı k=ıp=m-+1 
welche endlich durch die Substitution: 
jE * / 
N Der ut um D=® 

u P1 sp p 
pP 
(zen: TEEN 
in: 
h=m kh=m 
(©) 2 rt od + 2 nt up +oY 
al 1=2 
= 
übergeht za wo 12, 1a... 1, mearer Pumchonen von rs Int.s ck 
und ®,Y bilineare Funetionen der Veränderlichen: 
%n> v, (m <p<sr;m<g<s) 
bedeuten. Denkt man sielhı nun von vorn herein die beiden Grund- 
formen der Schaar so ausgewählt, dass jede der von Null verschiedenen 
Subdeterminanten von ud + vl auch für vo= 0 einen von Null ver- 
schiedenen Werth behält, so ist zu zeigen, dass up +c\ oder (©) in 
die Redueirte: 
> | (u + wNv)B) + vy) („v=i,2...) 
a 
zu transformiren ist. 
Der letzte Theil von (©), nämlich v# +oY, enthält nur r — m Varia- 
beln x und nur s— m Variabeln y; es kann daher die Möglichkeit der 
Reduction der Schaar u® + vY schon vorausgesetzt werden. Bei der 
dazu erforderlichen Transformation gehen die Veränderliehen x, in 
gewisse Variable X über, und f,, f,,...f„ werden alsdann lineare Func- 
tionen eben dieser Variabeln X allein. Wenn nämlich noch irgend 
eine Veränderliche x, in den Funetionen f zurückbliebe, so würde 
zwischen den m+ı nach %,%s-:- %.,%, genommenen partiellen Ab- 
leitungen der Schaar (©), welche sämmtlich lineare Funetionen von 
D>D2s... 9, sind, dureh Elimination dieser m Veränderlichen y eine 
Gleichung entstehen, deren Coefficienten — der obigen Voraussetzung 
N) . u > 
entgegen — ganze Functionen (m — ı)ten Grades von — wären. 
v 
Setzt man jetzt noch: 
10 —i es MIR! K=X e—k—ı) Y = 14 k=1,2,...m), 
