Kronzcerer: Algebraische Reduction der Schaaren bilinearer Formen. 1235 
eirten Formenpaares der ersten Art ausser der Anzalıl der darin 
enthaltenen Variabeln n) oder 2e” nur noch des Werthes von ? und 
desjenigen des Verhältnisses u” :o” bedarf, da tu” +" = 1 ist. 
Ein beliebiges redueirtes Formenpaar [®, Y] ist demgemäss, als Aggregat 
von elementaren, durch die Werthverhältnisse x" : 0” und die zugehö- 
rigen geraden Zahlen x‘) sowie durch die Reihe der ungeraden Zahlen x‘ 
und 2 vollständig charakterisirt, wenn ? als gegeben angenommen 
wird. Aber diese charakteristischen Grössen und Zahlen haben nicht 
bloss jene formale Bedeutung, welche an die äussere Gestalt der 
reducirten Formenpaare anknüpft, sondern sie können auch unab- 
hängig davon in einer für alle Formenpaare gültigen Weise definirt 
werden und erhalten dabei eine höhere und wesentlichere Bedeutung, 
welche im Folgenden dargelegt werden soll. 
IV. 
Es sei [$, W] ein beliebiges Paar bilinearer Formen von r Variabeln 
x und s Variabeln y, ferner sei r die grösste Zahl. welche die Eigen- 
schaft hat, dass nicht alle aus den Coeffieienten von up ob zu 
bildenden Determinanten der Ordnung r identisch gleich Null werden. 
Alsdann bestehen zwischen den r Ableitungen von ub + vol nach 
%, X, ... 2, genau r — r von einander unabhängige lineare Relationen 
und ebenso zwischen den s Ableitungen nach y,,%Y,....y, genau 
s— r von einander unabhängige lineare Relationen, deren Coefficienten 
ganze homogene Functionen von v und v sind. Denkt man sich nun 
beide Arten von Relationen so gewählt, dass ihre Dimensionen in 
Beziehung auf x und », welche bez. durch: 
My, My, 0. M, p=r—r) 
Ms Masin r Mg (=s— 7) 
bezeichnet werden sollen, möglichst klein werden, so sind diese 
Zahlen m und m für jedes Formenpaar [$, Y] völlig bestimmt und 
bleiben auch bei linearer Transformation desselben ungeändert. Be- 
deuten endlich w:o’, «”:o”,... alle diejenigen Werthverhältnisse von 
u:v, für welche die sämmtlichen aus den Coeffieienten von ud + vl 
zu bildenden Determinanten rter Ordnung verschwinden, und geben 
die Zahlen: 
Y 
9 
LANE (NE er) 
an, wie vielmal der bezügliche Linearfactor: 
u’ — vu, w" — ıu,... 
in sämmtlichen Determinanten «ter Ordnung enthalten ist, so sind 
