Kroneerer; Algebraische Reduction der Schaaren bilinearer Formen. 1235 
im Schema (), und zwar so, dass stets n/’ Sn‘), , ist, während die 
Werthe von: 
m Rn 
7—a 
sämmtlich gleich Null sind. 
Hiermit ist die anderweite, für beliebige Formenpaare [9,4] 
gültige Bedeutung jener Grössen und Zahlen x”, ©, n dargelegt, welche 
im art. III nur für redueirte Formenpaare definirt waren, und es hat 
sich dabei gezeigt, dass eben diese Grössen und Zahlen im ihrer 
anderen Bedeutung die Eigenschaft haben, Invarianten der bezüg- 
lichen Formenpaare zu sein. Es ist aber schon oben am Schlusse 
von art. III hervorgehoben, dass die Grössen und Zahlen u”, ©”, n 
oder also, wie sie jetzt bezeichnet werden können, die im Schema (\) 
enthaltenen Invarianten, für ein reducirtes Formenpaar [®, %] dureh- 
aus charakteristisch sind und dasselbe vollkommen bestimmen, wenn 
nur die darin vorkommende Grösse ? als gegeben angenommen wird. 
Die Reduction zweier Formenpaare [$, W], [#, W’]. denen ein und 
dasselbe Invariantensystem () angehört, muss also auf ein und das- 
selbe redueirte Formenpaar [®, %] führen, sobald die Grösse ? in beiden 
Fällen identisch gewählt wird; und dies ist stets möglich, da die Wahl 
von Znur durch ausschliessende Bedingungen eingeschränkt ist. Hieraus 
folgt als Endresultat, dass für die gegenseitige Transformirbarkeit zweier 
Formenpaare die Identität der beiderseitigen Invariantensysteme (/) nicht 
bloss eine nothwendige, sondern auch eine hinreichende Bedingung ist, 
und dass das in dem Schema () zusammengestellte Invariantensystem 
daher als ein vollständiges bezeichnet werden kann. 
Die Reihenfolge der Entwickelungen, wie sie hier gegeben 
worden, ist gerade entgegengesetzt derjenigen des schon oben eitirten 
WeıErstrass’schen Aufsatzes vom Jahre 1868; denn die Grössen und 
Zahlen u”, ©", n®, welche darin allein auftreten," werden dort zuerst 
in ihrem höheren Sinne eingeführt, und ihre formale Bedeutung für 
die redueirten Formenpaare wird erst nachher dargelegt. Dies ist, 
rein sachlich genommen, sicher vorzuziehen, und ich habe auch bei 
einer analogen Untersuchung” eben diese natürliche Reihenfolge der 
Erörterungen festgehalten. 
Aber die umgekehrte Schlussweise, wie sie oben und auch schon 
in meinem Aufsatze vom Jahre 1868 angewendet worden ist,’ gewährt 
‘1 Die Weıerstrass’sche Arbeit behandelt die Transformation solcher Paare 
bilinearer Formen, für welche die Determinante der zugehörigen Schaar von Null 
verschieden ist, d.h. solche. bei denen die Zahlen n°, n° gänzlich fehlen. 
® Vergl.$.3 meiner Arbeit »über die congruenten Transformationen der bilinearen 
Formen« S. 432 etc. der Monatsberichte vom Jahre 1874. 
® Vergl. Monatsbericht vom Mai 1868, S. 340— 343, art. I. 
