Kronecker: Algebraische Reduction der Schaaren quadratischer Formen. 1383 
Da in dem jetzt zu behandelnden Falle, wo n>2m-+ı ist, die 
oben mit (6,) bezeichnete Schaar quadratischer Formen nur n — am -— ı 
Variable enthält, so kann angenommen werden, dass hierfür schon 
Schaaren von der Gestalt (6,) gefunden seien, nach deren Subtraction 
von (6,) keine Schaar mehr übrig bleibt, oder nur eine solche 
uß +vY, deren Determinante von Null verschieden ist. Alsdann 
muss auch die Determinante der quadratischen Form Y von Null ver- 
schieden sein. Denn das Aggregat von (G,) und (®,) ist eine lineare 
homogene Function der sn Variabeln Kr und alse 
eine quadratische Form von eigentlich nur 2m Variabeln. Ebenso 
lässt sieh in jeder der Schaaren von der Art (6) die Anzahl der 
Variabeln um eine Einheit vermindern, wenn man lineare Trans- 
formationen mit Coeffieienten, die von u und v abhängig sind, an- 
wendet. Durch solche Transformationen ist hiernach, wenn / die 
Anzahl der von (6,) zu subtrahirenden Schaaren der mit (G,) be- 
zeichneten Art bedeutet, die Gesammtzahl der Variabeln der Sehaar 
ub+vb von n auf n—!—ı zu redueiren, und es sind also die 
sämmtlichen Subdeterminanten (rn —/)ter Ordnung des Systems der 
Coefficienten von up +vX gleich Null, nicht aber diejenigen der 
(na—!—ı)ten Ordnung. Dagegen würden, wenn die Determinante 
jener quadratischen Form Y gleich Null wäre, auch alle Subdeter- 
minanten (a —/— ı)ter Ordnung des Systems der Coeffieienten von Y 
verschwinden, während oben ausdrücklich vorausgesetzt worden ist, 
dass für © — o nur solche Subdeterminanten des Systems der Coef- 
ficienten von ud + verschwinden, welche für alle Werthe von u 
gleich Null sind. 
Da die Determinante der quadratischen Form % von Null ver- 
schieden ist, so kann man sich die Schaar u® +vY auf die Form 
gebracht denken: 
(5) u> A, 3,2, = o> BrEi BR 2), 
i,k ke 
wo 3,,8,,...=, lineare homogene Functionen der Variabeln %,..+.; 
Umtas +: %n_, mit Coefficienten des Rationalitätsbereichs der Schaar 
(6,) bedeuten.‘ Ferner kann man als die vorerwähnten Schaaren von 
der Gestalt (6,) die folgenden annehmen: 
‘ Die Möglichkeit der Transformation einer beliebigen quadratischen Form 
F(x1,%,...2%.) in ein Aggregat von (Juadraten linearer Functionen der Variabeln « 
mit Coefficienten des Rationalitätsbereichs der Form F folgt wohl am einfachsten daraus, 
dass zwischen den ersten Ableitungen der durch die Gleichung: 

Sitzungsberiehte 1890. 119 
