Scuorrky: Die Function @(@, o). 809 
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Dur): 
„= —k 
die mit r* anfängt, wenn « eine kfache Wurzel der Gleichung ie) —Io 
ist. Dann muss 
>Dyr=x 
r=—k 
sein, und da die Entwicklung von x? keine negativen Potenzen von 7 
enthält, so ist: 
DD go. D(yE,,—o: 
Das constante Glied in der Entwicklung von G(x,?) ist demnach 
ein Integral der Gleichung D(y) = x“, und die %k Coeffieienten der 
negativen Potenzen sind Integrale der Gleichung D(y) = 0. 
Bestimmen wir die Form der Functionen %,,Y_,:--Y%_;. Es ist 
a? = x*e". Der reciproke Werth von f(p) ist darstellbar als eine Reihe 
P(r) nach aufsteigenden ganzen Potenzen von r, die mit 7" anfängt. 
Das Product e“’P(r) lässt sich ebenfalls nach Potenzen von r ordnen; 
dabei ist das constante Glied eine ganze Function kten Grades von 
u,d(u), und die Coeffieienten der negativen Potenzen von r sind die 
Ableitungen von d(w). Denn ist $(u) das constante Glied in der Ent- 
wicklung von e”P(r), so folgt durch Differentiation nach u, dass 
$(u) das constante Glied in der Entwicklung von re” P(r) ist, also 
der Coeffieient von r”" in der Entwicklung von e” P(r). — d(u) selbst 
ist offenbar die ganze Function: 
k w 
> =) 9 
wobei c_, den Coeffieienten von r* in P(r) bedeutet. Demnach ist 
Yy=x“b(u, wo &(u) eine ganze Function kten Grades von u ist, 
und %_,,%_,---%_, sind die Producte von x“ mit den Ableitungen 
von &(u). 
Die letzteren & Functionen sind offenbar linear-unabhängig. Um 
aber zu zeigen, dass alle » Functionen, die zu den verschiedenen 
Wurzeln z,@ u.s. w. der Gleichung /(p) = 0 gehören, linear-unab- 
hängig sind, bleibt noch zu beweisen, dass ein Ausdruck 
(u) + a Ylu) + u. s. w., 
in dem &,® u.s.w verschiedene Zahlen, ®(u), Y(u) u.s. w. ganze 
Functionen von v=log(x) sind, nur dann identisch © sein kann, 
wenn &(u), Y(u) u.s. w. einzeln identisch o sind. Dies verschieben 
wir bis zum Schluss, und gehen jetzt über zu dem Fall, wo die 
Coefficienten von D(y), die Grössen Pv, nicht Constanten, sondern 
