810 Sitzung der physikalisch -mathematischen Classe v. 27. Juli 1905. 
gegebene Functionen von @=e" sind, und zwar reguläre in einem 
Kreise, der mit dem Radius R um den Nullpunkt beschrieben ist.' 
Der bisher mit f(p) bezeichnete Ausdruck ist dann eine Function 
von x und ?; wir nennen sie f(®,p), und f(p) den Werth von f(x, p) 
für 2=0. f(a,?) und f(p) sind ganze Functionen nten Grades von p, 
ihre Differenz aber höchstens vom n—Iten Grade. Statt der Gleichung 
D(a) = f(r)a® haben wir jetzt: 
Die) = f(x, p). 
Wir können wieder eine Function G(x,?) einführen, und zwar in 
der Form: 
Ga,)= gta +g,0t’+ us. w. in inf, 
die der Gleichung D(y) = x: genügt. Man sieht leicht, dass die Coeffi- 
cienten 9,, 9, u. s. w. vollständig bestimmte Werthe haben müssen. 
Denn aus den Gleichungen 
D(G(&,p))=%, D(a&*’) = +’ fie,p+») 
folgt, dass identisch: : 
ı=9fla,)+gnafla,p +1) +gKÜfle,p+2)+ us. w. 
sein muss. Innerhalb des Kreises |x|<R lässt sich f(@, 7) entwickeln 
in eine Potenzreihe von x, deren Coefficienten ganze Functionen von 
p sind: 
fe, =) +Ap)a+f()a’+ u. s. w. 
Setzt man dies ein, so ergiebt sich: 
9) il, 
fer) +ghM= 0, 
allgemein, für A>o: 
EFF IH SFr) = 0: 
ui 
Daher ist g, darstellbar als rationale Function von p mit dem 
Nenner: 
OR +)... fern. 
Die Werthe von p, wofür wenigstens eine der Functionen g, unend- 
lich wird, nennen wir singuläre. Es sind nur solche, wofür eine der 
! Bringt man eine solche Gleichung D(y) = o auf die Form: 
any 
dan +Ppı msi + t+pmy=0, 
so sind pr , Ps ‘*' Pn Functionen von x, die im allgemeinen für x» = o unendlich werden, 
und zwar pı von der ersten, 9» von der zweiten Ordnung u.s. w. Diese Form ist 
aber weniger geeignet für die Durchführung der Aufgabe. 
