Scaorrky: Die Function G(x, e)- s1l 
Functionen f(p), f(p+1), f{e-+ 2) u. s. w. verschwindet; in jedem end- 
lichen Bereich liegt daher nur eine endliche Anzahl singulärer Punkte. 
Wenn wir beweisen können, dass die aufgestellte Reihe, abge- 
sehen von den singulären Werthen von p, convergirt für la, so 
genügt sie auch der Differentialgleichung D(y) = x. Es kommt aber 
darauf an, auch die Entwickelbarkeit von G(x,pr) nach Potenzen von 
p—«& festzustellen. Deshalb geben wir dem zu beweisenden Convergenz- 
satz die Form: 
Ist a eine beliebige reelle, r eine positive Grösse, die kleiner als 
R ist, so existirt eine positive ganze Zahl m, von der sich Folgendes 
aussagen lässt: Für jeden nicht singulären Werth von p, dessen reeller 
Theil grösser oder gleich a ist, ist das grösste unter den m ersten 
Gliedern der Reihe 
%|l, Iar|, 
zugleich das grösste von allen. 
Zum Beweise nehmen wir noch eine feste reelle Grösse c zu Hülfe, 
die kleiner als @ ist, und einen zwischen r und R gelegenen Werth r.. 
Aus der recurrirenden Gleichung folgt: 
U.s. w. in inf. 
9.7" 
a 
Al) —tn A— u) 
I. NS ae 
a  reas 
Beschränken wir x auf den Kreis |e|<r,, und p auf die Werthe, deren 
reeller Theil grösser oder gleich a ist, so kann die Function 
f@; p) u) 
Po 
nicht unendlich werden, auch nicht für = 00; ihr absoluter Betrag 
hat also ein endliches Maximum A. Dieser Werth A ist zugleich grösser 
als jedes Glied in der Entwicklung des Ausdrucks nach Potenzen von «. 
Daher ist für dieselben Werthe von p: 
Die Formel muss, daA—u>oist, auch richtig bleiben, wenn man 
p durch op+A—u ersetzt. Da nun |p+r—u—c|<|p+r—c ist, so 
ergiebt sich: 
II. IAk+r—u)|< 
Ferner ist 
Alp+r—ec|”” 
ta ö 
Al 
I 
eine rationale Funetion von p, die für = 00 verschwindet. Es ist 
