Senowrky: Die Function @(x, 2). 813 
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für |r|<d regulär sind, so giebt es einen Werth M, den keine dieser 
Funetionen ihrem absoluten Werthe nach in dem kleinen Kreise über- 
steigt. Wir schliessen daraus zunächst, dass auch keine der auf 9,_, 
folgenden Functionen g, im Punkte & von höherer als der /ten Ordnung 
unendlich wird. Ausserdem folgt aus dem bewiesenen Convergenz- 
satz, dass in dem kleineren Kreise, und zwar für jeden Werth von A 
M 
ar Sa 
ist; und für die Coeffieienten 6, ergiebt sich hieraus: 
len ee 
Dies sagt aus, dass die Doppelsumme 
oo oo 
> > (6, ar r*) 
r=monu=—l 
unbedingt convergirt für |e|<r, |r|<d. Da man aber r und d beliebig 
nahe an R, D annehmen kann, so convergirt sie für |e|<R, |r|<D. 
Hieraus folgt nicht nur, dass die Reihe 
%HtI CH uU.Ss. Ww = H(x,p) 
convergent ist für [x <äR, sondern auch, dass man H(x,?), für 
|e—e|<D, entwickeln kann in eine Reihe nach aufsteigenden ganzen 
Potenzen von r = p—.«, deren Coefficienten im Kreise [x| < X reguläre 
Functionen von x sind. — Wir hatten « als singulären Werth an- 
genommen. Ist & nicht singulär, so gilt dasselbe, nur ist dann !=o. 
H(x,p) hat also in der ganzen Ebene den Charakter einer rationalen 
Function von p. 
Die Function G(x,?r) = «’H(x,;) wird für dieselben Wertle von p 
und von derselben Ordnung unendlich wie H(x,p). Da D(G (x, ?,)) = « 
ist, so können wir wieder schliessen: Entwickelt man G(x,7) nach 
Potenzen von r=p—a, so genügt das constante Glied dieser Ent- 
wicklung der Gleichung D(y) = x*, und die Coefficienten der negativen 
Potenzen der Gleichung D(y) = 0. Wir bekommen unendlich viele 
Integrale der Gleichung D(y) = 0, da unendlich viele singuläre Punkte 
existiren. 
Um die Entwicklung zu erhalten, hat man «x? zu ersetzen durch 
x*e”. Betrachten wir für den Augenblick x und u als zwei unab- 
hängige Grössen. H(x,&-+-r) ist eine Potenzreihe P(r), deren Coeffi- 
<R regu- 
läre Funetionen von x sind. Das constante Glied in der Entwicklung 
von e” H(x,&-+r), (x, u), ist daher eine ganze Function von v, und 
un 
cienten jetzt aber nicht mehr Constanten, sondern für 
