814 Sitzung der physikalisch- mathematischen Classe v. 27. Juli 1905. 
zugleich eine reguläre von x. Die Coeffieienten der negativen Potenzen 
von r sind die Ableitungen von $(x,w) nach uw. 
p(O, u) ist das constante Glied in der Entwicklung von e” H(o,«-+r). 
Es ist aber: 
Eos). \ : 
A) 
Ist x keine Wurzel der Gleichung f(p) = 0, so enthält die Entwick- 
lung von H(o,&-+-r) keine negative Potenz von r, folglich ist in 
diesem Falle p(0, u) von u unabhängig. Daraus folgt, dass die Ab- 
leitungen von d(w,u) nach « für x = 0 verschwinden, dass sie durch 
x theilbar sind. 
Ist dagegen & eine Wurzel der Gleichung f(p) = 0, und zwar 
eine kfache — wo %k auch gleich ı sein kann —, so wird H(o,&-+-r) 
für r=o von der kten Ordnung unendlich; daher ist $(0,u) eine 
ganze Function kten Grades von u. Die Ableitungen von $(x, u), 
die von höherer als der kten Ordnung sind, verschwinden ebenfalls 
für = 0, dagegen sind die ersten 4 Ableitungen nicht durch x theil- 
bar. Sie redueiren sich für = o auf die k Ableitungen von ®(O, u). 
Es lässt sich daher aus ihnen auch kein lineares Aggregat bilden, 
das durch x theilbar wäre. 
Aus diesem Grunde behalten wir von den unendlich vielen Ent- 
wicklungscoefficienten, die der Gleichung D(y) = o genügen, nur die- 
jenigen bei, die zu den Wurzeln der Gleichung f(p) = 0 gehören. 
Ist x eine einfache Wurzel, so ordnen wir ihr den Coeffieienten von 
7" in der Entwicklung von @(z,&-+r) als entsprechendes Integral 
zu. Ist & eine kfache Wurzel, so ordnen wir ihr die Coeffieienten 
von 7,7 ?...7* zu. Jede dieser %k Funetionen — und jedes aus 
allen oder einigen von ihnen gebildete lineare Aggregat — lässt sich 
darstellen als Werth eines Ausdrucks a"&(x, u) für = e', wo ®(x, u) 
eine ganze Function von u und zugleich eine im Kreise |x|<R 
reguläre durch & nicht theilbare Function von x ist. 
Den sämmtlichen Wurzeln der Gleichung f(p) = © entsprechen 
auf diese Weise n Integrale, und es lässt sich deutlich erkennen, dass 
sie linear unabhängig sind. Denn es sei Z(w) irgend ein aus allen 
oder einigen von ihnen gebildetes lineares Aggregat. Wir können 
dann Z(w) darstellen als Werth eines Ausdrucks 
(a, u +aYla,W)+ u.s.w. 
für x=e“. Dabei sind «, ß u.s. w. verschiedene Wurzeln der Gleichung, 
®, Y u.s. w. ganze Funectionen von u, reguläre und durch & nicht 
theilbare von x. Gehören die in Z(w) vorkommenden Integrale alle 
zu einer und derselben Wurzel, so besteht die Summe nur aus einem 
