364 Sitzung der physikalisch-mathematischen Classe v. 26. October 1905. 
wenn jene identisch erfüllt sind, die Kräfte P, in der von LAGRANGE 
angegebenen Form durch die Differentialquotienten desselben ausge- 
drückt werden können, oder dass diese Beziehungen eine vollständige 
Charakterisirung derjenigen Bewegungen enthalten, welche dem Prineip 
der kleinsten Wirkung unterliegen. 
»Der Beweis für diesen Satz lässt sich mit den bis jetzt vorbe- 
reiteten Hülfsmitteln der Analysis für den Fall, dass nicht mehr als 
drei Coordinaten p, vorkommen, unmittelbar geben. Dazu werden aber 
Sätze aus der Theorie der Potentialfunetionen im Raume von drei Di- 
mensionen gebraucht. Will man auf mehr Coordinaten p, übergehen, 
so braucht man die entsprechenden Sätze für eine grössere Anzahl von 
Coordinaten. Dieselben lassen sich bilden, so weit sie für unseren 
Beweis nöthig sind. Da dies aber eine Sache von selbständigem In- 
teresse ist, so schien es mir nicht passend, sie hier nur nebensäch- 
lich abzuthun, und ich ziehe deshalb vor, den genannten Beweis bei 
einer anderen Gelegenheit zu geben.«' 
In meinen ersten Untersuchungen über die Prineipien der Mechanik 
hatte ich die von HeımHoLzz aufgestellten Beziehungen (2)—(5) auf 
den Fall eines kinetischen Potentials beliebig hoher Ordnung ausgedehnt, 
welches also nicht nur von den Coordinaten und den Geschwindigkeiten, 
sondern von den Ableitungen beliebiger Ordnung der Coordinaten ab- 
hängt, und die Bedingungen aufgestellt für die durch die erweiterten 
LagrangeE' schen Ausdrücke gegebenen Kräfte höherer Ordnung als Func- 
tionen der Coordinaten und deren Ableitungen. Den Beweis, dass diese 
Bedingungen auch die hinreichenden sind, hatte ich dort zunächst für 
den einfachsten Fall eines kinetischen Potentials erster Ordnung mit 
zwei abhängigen Variabeln gegeben, der bald darauf von Aporpu MAYER 
auf den Fall des kinetischen Potentials erster Ordnung mit beliebig vielen 
Parametern, und von A. Hırscn und C. Bornnm auf kinetische Potentiale 
beliebig hoher Ordnung mit einer unabhängigen Variabeln ausgedehnt 
wurde. Die Aufstellung der von einander unabhängigen nothwendigen 
und hinreichenden Bedingungen für die Existenz eines kinetischen Po- 
tentials beliebig hoher Ordnung mit einer unbeschränkten Anzahl un- 
abhängiger und abhängiger Variabeln habe ich in der letzten Zeit auf 
Grund analytischer Untersuchungen über die identischen Lösungen der 
Hauptgleichungen der Variation einfacher und mehrfacher Integrale end- 
gültig erledigt. j 
Der Beweis des von HELmnoLTz für die kinetischen Potentiale erster 
Ordnung behaupteten Satzes, welcher den Eingang zu der Inangriffnahme 
des grossen, bis an sein Lebensende von ihm verfolgten Problemes 
! Wissenschaftliche Abhandlungen Bd. Ill, S. 237. 
