Frosenius: Über die Bernovurxr'schen Zahlen und die Eurer’schen Polynome. 809 
Über die Bernouszischen Zahlen und die 
Eunerschen Polynome. 
Von G. FRoBENIUS. 
Di. Theorie der Bernourrischen Zahlen, nach Evurers grundlegen- 
den Entdeckungen eine Zeitlang vernachlässigt, hat infolge ihrer Be- 
ziehungen zum Frrmarschen Satze und der geistreichen Verallgemeine- 
rung des Hrn. Hurwırz wieder größere Beachtung gefunden. Die vor- 
liegende Darstellung, die namentlich den arithmetischen Teil der Theorie 
berücksichtigt, enthält außer den bekannten Sätzen, die meist mit ver- 
einfachten Beweisen versehen sind, eine Anzahl neuer Resultate, wozu 
besonders die Eigenschaften dieser Zahlen nach dem Modul 2” zählen. 
Um dem trockenen Gegenstande einen gewissen Reiz zu geben, habe 
ich auf die Benutzung transzendenter Funktionen verzichtet und gehe 
daher von der folgenden Definition der Bernouruıschen Zahlen A” aus. 
Es gibt eine ganze Funktion (n + 1)" Grades, die für jeden ganz- 
zahligen positiven Wert der Variabeln x gleich 
S,.(2) = "+2" +... +(2—- 1)" 
wird. Ihre Ableitung hat für © = 0 den Wert 4” und für —=1 den 
Wert (-. A)". 
Statt der Potenzsummen kann man auch die elementaren sym- 
metrischen Funktionen benutzen. Die Summe der Produkte von je n ver- 
schiedenen der Zahlen 1,2, --- «—-1 ist eine ganze Funktion 2n‘“” Grades 
von x, die für 2—1,2, --- n verschwindet, also durch («-1) (@—2) (en) 
teilbar ist. Ersetzt man darin x durch -&, so wird sie für jeden 
positiven ganzzahligen Wert der neuen Variabeln gleich der Summe 
der Produkte von je n gleichen oder verschiedenen der Zahlen 1,2 -:- x, 
und, durch 2°) dividiert, gleich (Weronskr) 
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