810 Gesammtsitzung vom 28. Juli 1910. — Mittheilung vom 14. Juli. 
Diese Funktion hat für <= -1 den Wert A”, und ihre Ableitung 
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hat für x = 0 den Wert en (-h)". Lucas, dem diese Theorie so viel 
zu verdanken hat, scheint der Gedanke fern gelegen zu haben, T" (x) 
als eine ganze Funktion einer Variabeln aufzufassen, deren Werte für 
alle ganzzahligen Werte von x, mit Ausschluß der Werte -1, -2...—n 
angebbar sind, so daß sie als bekannt angesehen werden, und für 
x = —1 zur Definition der Bernourrischen Zahlen benutzt werden kann. 
Die Bezeichnung der Werte T”(-2),--- T”(-n) als Bernovuruısche Zahlen 
höherer Ordnung oder gar als ultrabernoullische Zahlen scheint mir wenig 
glücklich gewählt und mehr von abschreckender Wirkung zu sein. 
Diese Entwicklungen hängen zusammen mit einer, wie ich glaube, 
neuen Darstellung der Bernourrischen Zahlen durch Determinanten, 
deren Elemente nicht, wie in den trivialen Darstellungen, Binomial- 
koeffizienten, sondern die reziproken Werte der natürlichen Zahlen sind, 
und die ich aus einer halbvergessenen Formel von Eurer 
S(2) = Afle)-—Arfte)+ —Af(o)- Arf(e 
erhalte. f 
Die Eurerschen Zahlen, die man nicht mit den BernovurLıschen 
auf die gleiche Stufe stellen sollte, werden hier nur als spezielle Werte 
(für © = i) der Eurerschen Polynome behandelt, die in Kummers Ent- 
wicklungen über den Feruarschen Satz us so wichtige Rolle spielen. 
Setzt man darin für & eine primitive m‘ Einheitswurzel, so ergeben 
sich (SyLvester, Comptes Rendus, tom. 52, $S. 163) die Eurerschen Zahlen 
n““ Ordnung, die namentlich für m = 3 eine eingehendere Unter- 
ne verdienten. Für m =2, also für —=-1 erhält man die 
Tangentenkoeffizienten, deren Theorie man in den bisherigen Darstel- 
lungen nicht scharf genug von der der eigentlichen Bernouruıschen 
Zahlen geschieden hat. 
Die Reste der Eurerschen Zahlen nach dem Modul 2" haben be- 
sonders merkwürdige Eigenschaften, die zum Teil Srerv entdeckt, 
aber nicht bewiesen hat. Ebenso beweise ich alle Angaben von 
SYLVESTER über ihre Reste nach dem Modul p". 
Die Bernouruische Funktion S,(x) spielt hier nicht die große 
.n 
Rolle, wie in andern Darstellungen. Die Anwendung der symbolischen 
Potenzen A" macht ihre Benutzung überflüssig, und den Zweck, dem 
diese Funktion hauptsächlich dient, erreiche ich ($ 9) durch eine eigen- 
tümliche Methode, symbolische Differenzengleichungen in wirkliche 
zu verwandeln. 
Auf‘ die Mac Laurınsche Summenformel bin ich nicht eingegangen. 
Sie leistet im: Grunde zu wenig, da sie nur für ganzzahlige Werte 
