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Frosenivs: Über die Bernourtı’schen Zahlen und die Eurer’schen Polynome. 813 
Setzt man f(x) = I) ‚ so ergibt sich aus (1.) nach (6.) 
5 SUR -1)"n! 
(9.) ner Kan) en) 
82. 5 
Sei f(x) eine ganze Funktion, deren Koeffizienten ganze Zahlen 
sind. Bringt man sie auf die Form 
fe) = tm +mx(&-1)+.+mr(2—-1)- -(e-n-+1), 
so ist nach (9.) $ ı 
(1.) IW)=3 1) 
ur! 
Dee, 
wo a, eine ganze Zahl ist. Nun ist r! durch r +1 teilbar, außer wenn 
r+1= 2,4 oder eine ungerade Primzahl p ist. Für eine solche ist 
(2.) S(p) = "++. +(p-1”"=0 (mod.p), 
auch für n —= 0, wo 0° — | ist, aber nicht, wenn n>0 und durch p-1 
teilbar ist. Denn ist g nicht durch p teilbar, so sind die Zahlen 
0g9,19g,:.-(p-1)g den Zahlen 0,1,..-p-1 kongruent, und mithin ist 
S,(p)=9g"S,(p). Ist nun g eine primitive Wurzel von p, so ist nur 
dann g"=1, wenn n durch p—1 teilbar ist. In diesem Falle ist 8, (p)=-1. 
on 
Ist demnach o(x) eine ganze Funktion (p— 2)‘ Grades, so ist auch 
e()+Pl)+ +p(p-N)=0. 
Ist p(x) das Aggregat der ersten p—-1 Glieder von f(x) = g(x) 
+ (2), so ist 
Y2) = warte) (ap +) +1) @pHl)te, 
also (0) = WI) = .-- = V(p-2) = 0 und 
YvPp-D)=Rlp-1)!. 
Mithin ist 
POHL) + HP) =@-(p-1)! (mod. p). 
Ferner ist 
Fo) +) +fl@)+fB@) = 4% + 6a + Sa, + 6a, = 2a, + 2a, (mod. 4), 
und demnach 
(3.) fl) =9+$, F(0) wills pe 
Hier ist 9 eine ganze Zahl. Die von p durchlaufenen Werte sind die 
Zahl 4 und die ungeraden Primzahlen, die = n+1 sind. Der zum Nenner 
p= 4 gehörige Zähler ist eine gerade Zahl. Insbesondere ist 
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