Frosenıus: Über die Bernourı’schen Zahlen und die Euner’schen Polynome. 817 
.(2) 
S,(4) (mod. 2). 
Ist aber n ungerade, so ist, da S,(2) = 1 ist, die Formel (1.) nicht 
richtig. Dagegen ist stets 24” = S 
—_— 
Sf; 
. [> . 
Ist also n gerade, so ist A" — rn ein Bruch, dessen Nenner 
p nicht enthält. Durchläuft p die Primzahlen, die =n +1 sind, so ist 
demnach 
I — > u 
eine ganze Zahl, da der Nenner keine Primzahl enthält. Nun ist 
(pP) = M"+1*+ + (p-1)" 
durch p teilbar, außer wenn n durch p-1 teilbar ist, und dann 
=-] (mod. p). Damit ist der v. Stauprsche Satz bewiesen. 
Mit Hilfe der Formel (1.) erkennt man aus der Gleichung (2.), 
daß sogar, falls p>3 ist, 
(3-) S.(p)=ph" (mod. p?) 
ist, außer wenn n =1 (mod. p-1) ist, aber auch dann, wenn » = | 
oder durch p teilbar ist. 
Ist n=1 (mod. p-1), also ungerade, so ist "= (0 und ph" 
=-] (mod. p) und mithin (auch für p = 3) 
(4-) S.(Pp) =_"p (mod. p?) (n=1 mod. p —1) 
Die Kongruenz (3.) gilt daher stets (und auch für p = 3), wenn 
n <2p-1 ist. Nach den Newrosschen Formeln ist 
fuer ts ns nf 0 (n<p-D. 
Danum fs: ni» 815 0. 8, durch p' teilbar’ sind, so ist 
-nun=S,=ph" (mod. p?) 
„_. der Faktor mit 
Ist » ungerade, so ist in dem Produkte f.S 
ungeradem Index sogar durch p” teilbar, und mithin ist 
n 
na Sp. hir Mlmode pn) 
u 
oder 
(5.) - — h""" (mod. p) (n ungerade). 
