Frogenivs: Über die Bervovrrr'schen Zahlen und die Eurer’schen Polynome. 819 
2 Io. 1 . . . 
Funktion («+ A)”"*' für & = 0 und — Null ist, so verschwindet ihre 
Setzt 
w|- 
Ableitung, also («+ 4)” für einen Wert a zwischen 0 und 
man diesen in (2.) ein, so erkennt man, daß 
(3-) Ir —=B>0 
positiv und von Null verschieden ist. 
Die Funktion 
(— er (2ER )2uE 
verschwindet für keinen Wert b zwischen 0 und SR Denn sonst würde 
sie für die drei Werte 0, d, — verschwinden, ihre erste Ableitung für 
- 
zwei dazwischen liegende Werte, und ihre zweite Ableitung (1.) noch 
für einen Wert zwischen 0 und —-, wider die Voraussetzung. Daher 
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hat diese Funktion beständig dasselbe Zeichen, und da dies für kleine 
Werte von x mit dem Zeichen von (-1)"*' A” übereinstimmt, so ist 
sie beständig positiv. Diesen einfachen Induktionsbeweis entnehme 
ich dem Buche des Hrn. Serıwanorr über Differenzenrechnung, $ 33. 
Dagegen hat Eurer die Tatsache (3.) aus einer Formel festge- 
stellt, die Lucas in folgender Art verallgemeinert hat. Da F(x) = 
S.(2)S,(2) durch x? teilbar ist, so ist F’(0) = 0. Ferner ist nach 
@), 81 
F(z2+1)-F(z2) = x" 8,(x) + x" S,(2) + 0” +", 
Daher ist 
ATS lH) FRNSL(h) Re o 
oder, wenn das Symbol A’ dasselbe wie A bedeutet, 
(Ah + A yatı — er a (h Sn sy Hrlare! 
m E ee en m+n 
(4) n+1 =, m+1 Ki 
demnach für m = 0 
(5.) (h+W)" + (n-ı)h"+nh""— 0, 
also, weil (-4)”" = Ah” ist, außer für m = 1, 
(6.) (h-M)" — (h+W+ I)" = -(n-1)h" (n>]). 
Schreibt man die Evurersche Gleichung (5.) in der Form 
(7-) en+)2= 27 (,,) BSBN, 
r 
so zeigt sie, daß D, positiv ist und von n = 1 an beständig wächst. 
