Frosenius: Über die Bernovrrı'schen Zahlen und die Eurer’schen Polynome. 821 
hat für m =1,2,.-.6 die Werte 
1 1 1 1 1 191 
EN DIET EI ER a: MER TREE 
Nun ist identisch 
an —> 2 a Ka e 
k®—(1+(k?-1)) =1+n(k? y+(} 
und mithin 
22 23 m 22 n De n 
6. ah?r — 22m = 1-—n u ur Nr 2 
( ) 3 tzpla BEN USER, 4 
21° n # Pan eh! n 
Sadallald DRITT ILERT ENG 
An dieser Summe ist bemerkenswert, daß in jedem folgenden Gliede 
der Exponent von 2 um 2 oder 4 Einheiten größer ist als im vorher- 
gehenden. Man kann folglich daraus eine für alle Werte von n gültige 
Kongruenz (mod. 2”) machen, falls man die Reihe an einer passenden 
Stelle abbricht. So ergeben die oben hingeschriebenen Glieder den 
Rest der linken Seite (mod. 2°”). Zwei spezielle Fälle dieser Formel 
habe ich schon in $ 4 erwähnt. Analog ist 
/ D) ; 
(7%) ah" = en a2 (3) -»(?) (mod. 2!) (n>5). 
Je + (Zar + 
3 BZ 
An die Stelle der gebrochenen Zahlen kann man links auch die 
ganzen Zahlen 2(1-2°")h?" setzen. 
Man kann die Formel (6.) auch so in Worte kleiden: Bildet man 
von den ungeraden Brüchen 
(22”—2)B, (r=1,2,3,.-) 
die Summen von je zwei aufeinander folgenden, so sind alle durch 4 
teilbar. Die Quotienten sind alle ungerade. Bildet man von ihnen 
wieder die Summen von je zwei aufeinander folgenden, so sind sie 
(ausnahmsweise) alle durch 8 teilbar. Die Quotienten sind ungerade, 
ihre Summen alle durch 16 teilbar, die Quotienten ungerade, ihre 
Summen durch 4 teilbar, und so sind sie von hier an abwechselnd 
dureh 16 und dureh 4 teilbar. Daß diese Eigenschaften der BERNoULLLI- 
schen Zahlen, soviel ich weiß, bisher der Aufmerksamkeit der Arith- 
metiker entgangen sind, liegt wohl hauptsächlich daran, daß sie einer 
Herleitung mit Hilfe der Exponentialfunktion schwer zugänglich sind. 
In der obigen Darstellung treten die Summen von je zwei auf- 
einander folgenden Gliedern einer Reihe auf statt der Differenzen, weil 
die Zahlen A*”* abwechselnd positiv und negativ sind. Allgemein will 
ich eine Reihe w’, u!, w°,..., eine Sternsche Reihe (Urzızzs Journ. 
bd. 79. S. 96) nennen, wenn sie der folgenden Bedingung genügt: Ist 
