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Frosenivs: Über die Bernovrrni'schen Zahlen und die Euvzer’schen Polynome. 823 
Nach einem Satze von Hrxrnmırz sind diese Wurzeln alle imagimär, 
mit Ausnahme von einer, wenn n gerade ist. Die Formel bleibt auch 
richtig, wenn n unendlich groß wird. Dann sind #2rir die Wur- 
zeln der Gleichung e’ = 1, und es ist 
(3-) an ce > - = -25(2n), 
also weil 
9) = [Ze] Tor. 
und £(0) = -, ist (Lirsenrtz, Crerzes Journ. Bd. 96). 
(4) nn) = (em. 
Diese Formel umfaßt alle seit Auen entwickelten Darstellungen der 
Bersovuruischen Zahlen als bestimmte Integrale. 
Mit Hilfe der bekannten Darstellungen der Potenzsummen der 
Wurzeln einer Gleichung durch ihre Koeffizienten kann man aus (2.) 
fertige, aber wenig brauchbare Darstellungen für die Bernouruischen 
Zahlen ableiten. Allgemeinere Formeln dieser Art hat KroxcckEr ge- 
funden, indem er die Gleichung (1.) durch eine andere ersetzt, worin 
beliebig viele unbestimmte Größen vorkommen. Eine von der obigen 
wesentlich verschiedene Beziehung zu den Potenzsummen der Wurzeln 
von zwei Gleichungen werde ich in $ ıı entwickeln. 
Die einfachsten Ausdrücke für die Bersourrischen Zahlen ergeben 
sich aus der Differenzrechnung. Aus den symbolischen Formeln 
Au = (u-1)w, Aru = (u-1)w, f(A)u = f(u-1)w, (1+A)"ur = ut 
folgt, wenn man wu” durch f(r) ersetzt, 
; Eye m [ER 
fm) = (1+A)"f()=3 (7) av) 
und mithin identisch (Newron) 
(5.) Fla) = > (;) A’f(0), 
r 
weil diese Gleichung nn" Grades für jede positive Zahl x = m gilt. 
Nach (9.) $ ı ist folglich 
(6.) Fa) > el _Aro), 
und wenn man f(i) durch f(@ +1) ersetzt, 
flz-+#h) —> (- 1)" a Arila), 
