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Frosesius: Über die Bernovruı'schen Zahlen und die Eurer’schen Polynome. 827 
Aus der Gleichung 
(8.) (mA)"+(mh+1)"+(mh+2)"+-.-+(mh+m-1)" = mh" 
und der mit ?’ multiplizierten Gleichung (2.) folgt durch Addition 
Rene) 
, De n n pP 1 p 
(mh+ly" —=h"—n - (GF-ıy 
’ 
ten 
wo 9 die m-1l von 1 verschiedenen m” Einheitswurzeln durchläuft. 
Demnach ist 
(mh + I)" —h" 
(9.) m — 
N. 
eine ganze Zahl, weil (3.) eine solche ist. Läßt man den Faktor m’ 
weg, so erhält man einen Bruch, dessen Nenner nur solche Prim- 
zahlen p enthält, die in »r aufgehen. Anderseits enthält er nur Prim- 
zahlen, die in x oder in den Nennern der Bersouruiıschen Zahlen auf- 
gehen, die im Zähler vorkommen. Genügt p beiden Bedingungen, 
und ist r<n, so ist A’ mit einer Potenz von m multipliziert, und 
mh’ enthält p nicht im Nenner. Ist aber n gerade, so ist A" mit 
m"-1 multipliziert. Ist also n’ der Nenner von h”, aber gleich 1, falls 
n ungerade ist, und ist »ı' der größte gemeinsame Divisor von ın" 
und nn’, so ist schon 
: N 
eine ganze Zahl, also da mn durch m’ teilbar ist, stets 
(11.) m((mh +)" —h"). 
Dabei ist vorausgesetzt, daß / eine der Zahlen 0,1, ---m-1 ist. Die 
Resultate gelten aber für jedes /, weil 
(mi +m+ 1)" — a (mh + Dr + ml" 7! 
> n 
ist. Speziell ist für 2= 0 
h" Rr 
(1 2) m’ ( m" — ezs , m"(m"— 1) ao m(m"—ı)h" 
eine ganze Zahl. Daraus folgt: 
h" E : 
Der Nenner von - enthält keine andere Primzahl als der Nenner 
von h" selbst. 
Oder wenn n durch p’” teilbar ist, und nicht durch p-1, so ist 
der Zähler von A” durch p’ teilbar. 
Durch Subtraktion von (10.) und (12.) ergibt sich, daß 
, l RER, ‚\r Mi 
en) rn 
n m 
