d 
Ersetzt man in (2.) f(t) durch {f(t), so erhält man 
(H+1)f(H+1)=xHf(H), 
Frogenivs: Über die Bernovurrı'schen Zahlen und die Evrer’schen Polynome. 829 
und folglich ist, falls man noch f(t) durch f(t+z) ersetzt, 
9(@+1)=»f(H+H’+z+1)+(1-2)(H+1)f(H+z+1) 
— z(zf(H+H’+2)+(1-2)(H+1)f(H+z))=xg(z2), 
also 9 (2) = 0 oder 
(7) are (1) Hr (HM). 
Jetzt sei H’" das, was aus H" wird, wenn man x durch x’ er- 
setzt, dann ist = 
S(H+YH'+1)=af(H+H')+(1-e)f(H), 
f(H+H' +1) =a’f(H+W)+(1-e')f(H), 
mithin 
(z&’-a)f(H+ 2’ +1) =e'(1-2)f(H')-2(1-2’)f(H) 
und speziell 
(2.2). 
ET ER „[eH”" cH" 
+ Hy =G-)t-n)l- 1.) 
Setzt man jetzt © = x, so wird die linke Seite nach (7.) gleich 
J 7) 8 
—(1-x)H"*'. Demnach ist 
HF! eb en x H" 
1-2 1—-ır 
oder 
R, en UV Ian 
(5) (zen ae 
demnach 
(9.) Rırı (2) = (nx+1)R,(e)+x (1-2) R,(2) = (n+1)eR,(&)+(1-2)D(zR,(x)) 
und noch einfacher nach (5.) 
FE EN 
= RE 
(10.) Rur (8,9%) 
Daraus ergibt sich aufs neue die Formel (6.), und zugleich erkennt 
man, daß die Koeffizienten von Zt,(.x) positive ganze Zahlen sind. Die 
wiederholte Anwendung der Formel (8.) führt zu dem Resultate 
&R,(x) f 1 
v1) (1-z)"* io) lin 
Aus (9.) schließt man leicht, daß die n—-1 Wurzeln der Gleichung 
R,(x) = 0 alle reell, negativ und verschieden sind und paarweise re- 
ziprok außer der Wurzel —| für ein gerades n. Nimmt man dazu 
Sitzungsberichte 1910. zAl 
