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Frogenivs: Über die Berwourxi'schen Zahlen und die Euer’schen Polynome. 837 
Zu diesen Formeln kann man auch auf ganz elementarem Wege 
gelangen. Setzt man 
Kae, Te). Ga=Acn=[’}”)rw. 
N 
x—]1 
N 
so geht die Formel (3.) in 
at) Ele) rei (2), (2) = G(2-1)+86G,_1(8) 
über, woraus beiläufig 
(5.) ) T'(&) = A'(&+1)A(2+2).:- At(a+n-1)A-(@+n) 
folgt. Die zweite Formel zeigt, daß G,(x) die Summe der Produkte 
von je n gleichen oder verschiedenen der Zahlen 1,2,... x ist; die 
erste, daß F,(x) die Summe der Produkte von je n verschiedenen der 
Zahlen 1,2, ---.x-1,0,0,... ist. Die letztere Summe ist also eine 
ganze Funktion 2x” Grades von x, die für «= 1,2,...n verschwindet. 
Zwischen diesen elementaren symmetrischen Funktionen der Zahlen 
l,2,-.-0-1 und ihren Potenzsummen $,(x) bestehen aber die Nrw'ron- 
schen Formeln 
BP 8,_,(@) le) = Re), 
r 
oder wenn man x durch —x ersetzt, nach (3.) $ 3 
= n-ı[&+r\ h ee. are 
(6.) >: ( & )Ste+ 1 Oz N )’ (GR 
r 
Dividiert man dureh «+ 1, und setzt man dann & = - |, so erhält man 
Tr (-1) = 80) = Ar. 
Ist » ungerade, so findet man aus (6.) durch Vergleichung der 
Koeffizienten von x”? 
Fe n 
TE (0) ER ASHEN BET. 
n—]1 
und durch Vergleichung der Koeffizienten von («+ 1)? 
WER n(n—2) EN 
Zul) onen) 
In der Gleichung 
7 m Sr n > Run in un Rr 
(H+1) = mlal, >) (2-1): == (2-1)" 
setze man die Entwicklungen (4.) und (5.) $ ı0o ein. Dann erhält man 
> 
' 1 
() Angels) 05 Ara) 
Ss Pe 
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