Frosenıus: Über die Bernourrı'schen Zahlen und die Euzer’schen Polynome. 839 
Daher ist nach (8.) $ ıı 
(14.) (ze = > er (© -1)" (mod. («-1)"), 
d. h. die Entwicklungen beider Funktionen nach Potenzen von x«—-1 
stimmen in den »n ersten Gliedern überein. 
Die obigen Betrachtungen und die Formel (9.) führen demnach zu 
dem Ergebnis: 
Es gibt eine durch x» teilbare ganze Funktion n"" Grades T"(x), die 
‚folgende Werte hat: Das Produkt I) T”(x) ist, wenn x eine positive 
ganze Zahl ist, gleich der Summe der Produkte von je n gleichen oder 
verschiedenen der Zahlen 1,2, ... x; ist aber a<—n eine negative ganze 
Zahl, gleich der Summe der Produkte von je n verschiedenen der Zahlen 
1,2,..--@=-1. Für die Were —=-1,-2,...-n, wo jenes Produkt 
verschwindet, ist 
T(1)—=hr, T*(-2) = (h+Ar)n, TC3)=(h+h+hr),- 
Diese Formeln kann man auch (vgl. Lucas, Messenger of Math. tom. VII, 
1877, 8.82; Bulletin de la Soc. Math. de France, tom. VI, 1876, S. 57) 
auf die Gestalt 
T"(-2) = 12 (7) /m (@=1,2,-.n) 
bringen, wo 
le) = [=7+(2 +1)(2+2)--- (+2 -1)dz 
ö 
ist, oder auch auf die Form 
1 
Eh EN AN 
1" (2) = rel .)| Ar(zus(z+1)(2+2)--- (2+2-1))de. 
2) 
Endlich bemerke ich, daß 
1 
n-+1 
al) — s T"—n-1) = (-1)"n!, T"Cn) = -1)'r!s, 
ist. 
Mit Benutzung der Exponentialfunktion gestaltet sich die Ab- 
leitung so: Ist x eine positive ganze Zahl, so ist 
v 
t 
A: 
— Ayur. 
n! 
N — eur (e’—1) 5 eur (e’—1)* — Ar et — > . 
Ersetzt man « durch 0 und n durch «+ n, so ergibt sich 
Ar: or+n 
(e"—1)* — S er. vern 
een)! 
