840 Gesamuntsitzung vom 28. Juli 1910. — Mittheilung vom 14. Juli. 
oder 
(15.) = eut, 
® 
woraus die obigen Formeln leicht folgen. 
Setzt man e’-1 = 2, so erhält man (Laurent, Nouv. Ann. ser. II, 
tom. XIV, 1875, p. 354) die Formel 
r 
vn (SEM Eren 
die für © = -n der Gleichung (14.) äquivalent ist. 
Zu der Funktion @, (x) führt analog die Entwicklung des Aus- 
drucks — _. 
1-uv 
$ 14. 
Von der Relation (9.)$ ıı mache ich eine elementare zahlentheore- 
tische Anwendung. Ersetzt man darin & durch 2x, so verschwinden 
in der Entwicklung der Funktion 
3 n+]1 
die Koeffizienten von x' bis x". Die Koeffizienten des vor R, stehen- 
den Faktors sind ganz (mod. 2). Seine Entwicklung ergebe 1+a,x 
+4a,&%”+.::. Dann zeigt diese Formel: 
Der größte gemeinsame Divisor der Koeffizienten der Funktion R,(1- 2x) 
ist 2", wo n, die (Quersumme von n im dyadischen Zahlensystem. ist. 
Denn in der Funktion R(1-22) =b,+b,x0 +: +b,_,e"" ist 
2 Nnyn \n+tı 
( DE re 22°+.-- 4) (1-22) R,(1-2z2)—n! 
b,=n! und b,_, = #2". Der größte gemeinsame Divisor dieser 
beiden Zahlen ist 2'”“, und durch diesen sind auch Ö,,b,, :- teil- 
bar, weil , +a,b, = 0, b,+a,b, +a,b, = 0, usw. ist. Ebenso ist der 
Teiler der Funktion R,(1-Akx) gleich dem größten gemeinsamen Di- 
visor von k""' und n!. 
Den Teiler 2" hat auch die homogene Funktion R,(y-22,Y), 
oder wenn man % t+i,2 ==i setzt, die Funktion R,(t-i,t-+i). 
örsetzt man in der Gleichung 
e“ R,(e“) Kl 
erDzn oeer 
u durch 2i{uw-+ir, so erhält man 
b) 
ar 3 n p2iu R, Be ZAER 1 1 ’ 
2) - er c —_ ) —— D;- re ie D: (1 =} tg u) y 
(di- ee nzsl u 1-+ e*“ 2 u oO 
also 
(1.) Dits(u) = (1 +18? (w)) R,(tg (u) —-i,tg(u) +8). 
