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Frosenıus: Über die Bernovrri'schen Zahlen und die Eurer’schen Polynome. 841 
So ergibt sich der Satz: 
In der ganzen Funktion (n + 1)"" Grades von tg (u) , die gleich, D’tg(u) 
ist, haben alle Koeffizienten ungerade Nenner. 
$ 15. 
Setzt man in der Gleichung (2.) $ 10 
20-3 9r-(7)so). 
so erhält man 
ES OLE 
1,8 
DSB ist 
Bei Hi) — > ll )eu- ann. 
Nun sei p eine Primzahl, und 5 durch p‘”'(p-1) teilbar. Ist dann 
s nieht durch p teilbar, so ist 1-s’ durch p“ teilbar. Ist aber s durch 
p teilbar, so ist s’ durch p“ teilbar. Daher ist 
(1.) H’(1-H’)e=0 (mod.(p°,p“)), 
wo (u,v) den größten gemeinsamen Divisor von u und » bezeichnet. 
Formeln dieser Art, die man bisher nur mit Hilfe der Exponential- 
funktion abgeleitet hat, nennt man Kumnersche Aongruenzen (ÜRELLES 
Journ. Bd. 11). Die linke Seite ist eine gebrochene Funktion von «, 
deren Nenner eine Potenz von I-x ist. Wenn man mit dieser multi- 
pliziert, so wird der Ausdruck eine ganze Funktion von x, deren Ko- 
effizienten durch die kleinere der beiden Zahlen p° und p“ teilbar sind. 
Die linke Seite ist die ce" Differenz der Größen 
t+b +25 
I-H=Y,cı) () (1-5) (1-2). 
Ist s nicht durch p teilbar, so ist 1-s’ = 0 (mod. p‘), ist aber s durch 
p teilbar, so ist s’ = 0. Daher ist 
ı-H=% (7). 
Speziell ist 
wo sich r von 0 bis d bewegt, und s nur die durch p teilbaren Zahlen 
von 0 bis r durchläuft. Die Summe ist also gleich 
1 (2 = 
Cr (})ea-nn, 
falls auch noch nach p über die Wurzeln der Gleichung >” = | sum- 
miert wird. Dies ist gleich 
