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Frosenis: Über die Brrxourcr'schen Zahlen und die Eurer’schen Polynome. 843 
selbst den Kumnerschen Kongruenzen. Nicht erforderlich ist die von 
SYLVESTER (a.a.0. S. 307) ausgesprochene Bedingung, @ + | dürfe auch 
durch p nicht teilbar sein. 
$ 16. 
Nach (1.) $S ı5 ist H”= H" (mod. p), falls m=n (mod. p-]) 
und beide Zahlen >0 sind. Ist aber n<p, so ist nach (11.) $ 9 
—l-n» Au n 1a? 
(1-z2)PA"aR,(z) = Dia, » 
weil die Abteilungen von (1- x)” = 1-x” kongruent 0 sind. Folglich ist 
(1.) (l-2)2 2" R,(r) DB Meran (mod. p), ((<n<p) 
und speziell 
(2.) WR ee ee 
Nun ist, falls 2>0 ist, 
(1+ ; C++ = era) re i-2) Rn(i-2)-(p-1-n)! 
durch x””” teilbar, also auch mod. p 
((1-2) R,-2(z))P (1-8) R,--.(1-2)-(p-1I-n)! ((1-2) R,-.))”- 
Da aber 
n!'(p-1-r)!= (-1)"7, Fle)P =f(x?) 
ist, so ist folglich 
1 
(39) R,_ı„ (1-2) — ae (2—-1)"" R,-2(2)" (mod. p) 
N 
durch x7””” teilbar, und der Koeffizient von a?”” ist, falls n>1 ist, 
Mess, N a nz er 
Sl . (Vgl. Jacosı, Werke, Bd. 6, 8. 258; Crerses Journ. Bd. 30.) 
Daraus hat Hr. Mirımanorr (Öreızes Journ. Bd. 128, S. 59) drei 
merkwürdige Formeln abgeleitet, die fortzusetzen oder zu verallge- 
meinern leider noch nicht gelungen ist. Für n = 1 ergibt sich 
(4.) R,-2. (1-2) = R,-ı(2). 
Ersetzt man für n = 2 noch x durch I-x, so erhält man durch 
Kombination der neuen Formel mit der ursprünglichen 
1 
—R,-2(2)?, 
2 
(5.) ar R,-;(2)+(1-e)P IR, ;(1-2) = - 
weil die Differenz durch x””*(1-x)’”? teilbar ist. Das letztere gilt 
= i = 2 h 1 
auch für n>2. Ersetzt man dann für n = 3 auch noch x durch | N 
und benutzt die zu Formel (9.) $ ıı gemachte Bemerkung, so findet man 
