Frosentus: Über die Bernourui’schen Zahlen und die Eurer’schen Polynome. 845 
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schieden; auf jene bezieht sich der größte Teil der Entwicklungen, 
die angeblich die Bernourzıschen Zahlen betreffen. Der Grund dafür 
ist leicht einzusehen, wenn man die Schwierigkeit der vorangehen- 
den Entwicklungen mit der Einfachheit der Formel (8.) vergleicht. 
Mit Hilfe des Symbols %" kann man nun den für h" entwickelten 
Formeln mannigfache Gestalten geben, worin man sie kaum wieder- 
erkennt, z. B. 
(9.) f(2k+k) =flah+1). 
Ist p eine ungerade Primzahl, so ist in der Kongruenz (1.)$ ı5 
die durch p’”"(p-1) teilbare Zahl b gerade. Ist also auch a gerade 
und >0, so erhält man durch Multiplikation mit 1-+i nach (2.) 
(10.) ke(1-kt)e=0 (mod. (p°, p®)). 
Dagegen folgt aus (2.) $ ı5 
re) 
1-ir 
k? = (mod. p*) 
und mithin (Syıvester, Comptes Rendus, tom. 52) 
(11.) k®=0 oder 2 (mod.p*), 
je nachdem p = 1 oder 3 (mod. 4) ist. 
$ 18. 
Sehr interessante Kongruenzen nach dem Modul 2" hat Stern 
(Crerzes Journ. Bd. 79, S. 94) für die Euwerschen Zahlen durch In- 
duktion gefunden, aber nicht bewiesen. Denn was er als Beweis gibt, 
ist nicht nur, wie Bacnumann (Niedere Zahlentheorie Teil Il, S. 37) sagt, 
bedenklich, sondern unzulässig. 
Nach (1.) $ ı7 ist f(k) = -/f(4h+1), wenn f(x) eine ungerade 
Funktion ist. Sei 
a) ale il)@g f(x) — (2m +1)(2?—-1)" + 2m(&?—-1)"!, 
dann ist 
(2m + 1)(k?—-1)" + 2m(k?—- 1)" —= — (4h+1)(Sh +16h?)" 
— — 2°"(1+4h)(h + 2h?)". 
Die rechte Seite ist genau durch 2°”"' oder 2°” teilbar, je nachdem 
m gerade oder ungerade ist. Setzt man E für das Symbol -%?, so 
erhält man 
kt.) (2m +1) (E+ 1)" = 2m(E +1)" (mod. 2°"-1), 
Sei 2’”' die höchste Potenz von 2, die in m aufgeht. Dann ist 
11 Ra rm — 2m mg, 
Sitzungsberichte 1910. 72 
