36 H. K A Y S E R UND C. R U N G E 



Note IL 



Über den wahrscheinlichen Fehler der interpolirten und 

 extrapolirten Linien. 



Es seien x und y aus den Gleichungen 



x-\-k v y = \ (v = 1,2,... n) 



durch Methode der kleinsten Quadrate bestimmt, wo k 1 ,k 2 ,...k n beob- 

 achtete Gröfsen mit demselben mittleren Fehler s k und \,\,... \ beob- 

 achtete Gröfsen mit demselben mittleren Fehler s } sind. 



Man bildet nun mit den gefundenen Werthen von x und y und 

 irgend einem Werth k den Ausdruck 



x + yh 



und wünscht dessen mittleren Fehler zu kennen. 



Man würde einen falschen mittleren Fehler bekommen, wollte man 

 denselben aus den mittleren Fehlern von x, y, k nach der bekannten 

 Formel 



berechnen. 



Denn es wird Jedermann ohne Weiteres zugeben, dafs wir für 

 solche Werthe von k , welche zwischen k lt k 2 , ... k n liegen, einen kleineren 

 mittleren Fehler bekommen müssen, als für einen weit aufserhalb k t , k 2 , ... k n 

 liegenden Werth. Die Formel aber liefert für k = den kleinsten Werth, 

 während doch k = nicht zwischen den Werthen k t , k 2 , ... k n zu liegen 

 braucht. 



Kleidet man die Frage in geometrische Form, indem man die Werthe 

 von k als Abscissen, die Werthe von Ä als Ordinaten aufträgt, so entsprechen 

 den Werthepaaren ^\j k 2 \; .'.k n \ n Punkte der Ebene, durch welche 

 eine Gerade gelegt werden soll. 



x-\-k s y ist die Ordinate desjenigen Punktes der Geraden, welcher 

 die Abscisse k v besitzt, x -\- k t y — -\ also die Entfernung des Punktes 

 k\ von der Geraden in Richtung der A-Axe. Die Methode der klein- 



