6 NOTE SUR LA THEORIE ANALYTIQUE 



ment les lettres A, B, ... L. Les corps ainsi dénotés sont 

 ordinaires et l'on a {AA)" = {BB)" == . . . = ; nous allons voir 

 qu'ils peuvent être pris quelconques, de manière à engendrer 

 une (w-1)- série de corps ordinaires (*) 



P = aA + bB + cC + ... IL . (49) 



En effet, il faut que (PP)" = 0; cette équation se réduit, par 

 la destruction spontanée des termes carrés, à la forme 



ab(AB)" + ac(AC)" + bc(BC)" + ... = ; (50) 



elle est linéaire par rapport à chacune des (n -\- 1) variables 

 a, b, c, ... Celles-ci peuvent donc s'exprimer linéairement en 

 fonction de n nouveaux paramètres liés par la relation quadra- 

 tique non homogène 



(PP)' = a-{AA)' + 2ab{AB>' + ... = 1 . 



De là le théorème fondamental. De même que (n - 1) corps 

 cotés quelconques définissent une n- série linéaire de corps cotés, 

 de même (n -j- 2) corps ordinaires quelconques déterminent une 

 n- série linéaire de corps ordinaires ( '"'). 



Ce théorème, transposé dans le domaine de la Géométrie 

 réglée en substituant des bivecteurs aux quaternions A, B, . . . , 

 correspond aux faits connus ; il faut 3 droites pour définir une 

 quadrique (monosérie linéaire de droites), 4 pour engendrer 

 une congruence linéaire (bisérie), enfin 5 pour engendrer le 

 complexe linéaire (trisérie). Seuls les maximas de l'indice n 

 diffèrent pour les deux théories, il est 3 pour les systèmes de 

 droites et 5 pour les systèmes de corps; tout le reste est iden- 

 tique. Par exemple, dans le cas des monoséries, en rapportant 

 les trois corps de base à l'orthogonal commun, ils se transfor- 

 ment en vecteurs, et la monosérie elle-même se change en une 

 monosérie de droites. Donc on obtient la monosérie de corps la 



') Les lettres a, b, c, ... désignant des coordonnées sont naturelle- 

 ment réelles. 



-) Remarquer que cet énoncé ne préjuge en aucune manière l'iden- 

 tité de structure géométrique des n- séries linéaires de corps ordinaires 

 ou de corps cotés. 



