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Wege gewonnene Erkenntnifs in gewisser Hinsicht mangelhaft. Grade 

 das Wunderbare, welches den mit Hülfe der Analysis erlangten Re- 

 sultaten anhaftet, zeigt, dafs die natürliche Quelle der Erkenntnifs noch 

 nicht gefunden ist, und um diesen den analytischen Methoden anhaftenden 

 Mangel zu beheben — nicht um blofs eine neue Herleitung bekannter 

 Resultate zu gewinnen — lohnt es den rein arithmetischen Weg zur 

 Er^ründung derselben zu suchen. Dafs hierdurch die wissenschaftliche 

 Erkenntnifs in der That wesentlich gefördert wird, zeigt sich am deut- 

 lichsten bei jenen Dirichlet'schen Ausdrücken für die Anzahl der ver- 

 schiedenen Classen quadratischer Formen und bei ähnlichen Beziehungen 

 zwischen verschiedenen Zahlen, welche unter dem Begriffe der „Anzahl" 

 gewisser zahlentheoretischer Bestimmungen auftreten. Ein solcher Zusam- 

 menhang zwischen der Anzahl verschiedener Arten von Bestimmungen läfst 

 nämlich eine Beziehung zwischen diesen Bestimmungen selbst vermuthen, 

 und wenn diese wichtigere Beziehung gefunden ist, so ergiebt sich die für die 

 Anzahl als blofses Corollar. Freilich ist bisher bei den Dirichlet'schen 

 Ausdrücken für die Classenanzahl der quadi-atischen Formen vergebens 

 nach solchen Beziehungen gesucht worden, aber bei denjenigen, welche 

 mir die Theorie der complexen Multiplication der elliptischen Functionen 

 geliefert hat, ist mir durch die Analysis selbst zugleich ein Hinweis auf 

 die arithmetische Quelle der erlangten Resultate gegeben worden. Ich 

 habe dadurch einen rein arithmetischen Beweis jener Formeln für die 

 Classenanzahlen quadratischer Formen von negativer Determinante gefun- 

 den, welche ich auf Grund der analytischen Herleitung in früheren 

 Mittheilungen gegeben habe, und ich habe die Beweismethode selbst nach 

 mannigfachen Bemühungen der Fremdartigkeit ilires analytischen Ur- 

 sprungs in ähnlicher Weise entkleidet, wie es Dirichlet bei der Verein- 

 fachung des Jacobi'schen Beweises für die Darstellung der Zahlen als 

 Summen von vier Quadraten gethan hat"). 



*) Sur l'equation ^ H- ?«' 4- y" + »«" = 4 m. Extrait d'une lettre de M. Lejeune- 

 Dirichlet :i M. Liouville. Liouville's Journal, 2. Ser. I. Band 1856. 



