über bilineare Formen mit vier Variabein. 5 



§1- 



Man kann die bilinearen Formen in arithmetischer Beziehung ebenso 

 behandeln, wie die quadratischen, vorausgesetzt, dafs man nur solche 

 Transformationen zuläfst, welche für beide Systeme von Variabein iden- 

 tisch sind. Auf diese Ti-ansformationen bin ich erst bei allgemeineren 

 Untersuchungen gekommen, über welche ich der Akademie am 15. Octo- 

 ber d. J. eine Mittheilung gemacht habe*), aber sie haben auch schon für 

 den einfachsten Fall der Formen mit 2 Systemen von je 2 Variabein eine 

 interessante Bedeutung. 



Wenn die bilineare Form: 



durch die Substitution ("i 1 in die Form: 



A!x^y^ + ■SX3/2 — C'x^y^ + D'x^y„_ 

 übergeht, so gelten zwischen den Coefficienten der beiden Formen fol- 

 gende Relationen : 



A a' -]- (B— C) uy + Dy" = A' , 



Aaß -^BaS — Cßy + Dy^ = B' , 

 Aaß-t Bßy — C'«<^^+ Dy^ ^—C, 

 A /3= -f- (ß — C) ß^ H- D^' = D'. 



Bezeichnet man die Determinante der bilinearen Formen mit A, so ist: 



A = (aS—ßyy-.A'; 



es ist aber aufserdem noch derjenige aus den Coefficienten der Form ge- 

 bildete Ausdruck zu berücksichtigen, auf welchen die vorhin erwähnte 

 allgemeine Theorie der bilinearen Formen geführt hat, nämlich die Deter- 

 terminante : 



A(u-+-v) , Bit — Cr 



Bv — Cu , DO'+i') 

 d.h. A(«4-r)- — (ß+C)-»i; 



oder (A — 6) (u— vf -+- 9 («4- vf , 



wenn ö die negative Determinante der quadratischen Form (A, ^(^B — C),D) 



*) Vgl. den Monatsbericht vom October 1866, S. 597 u. flgde. 



