6 Krön ECKER: 



bedeutet. Diefs ist also eine ,. determinirende quadratische Form", 

 welche bei der Untersuchung der bilinearen Formen hinzuzunehmen ist. 



Nennt man zwei bilineare Formen mit ganzzahligen Coefficienten 

 äquivalent, sobald sie durch eine Substitution mit der Determinante 1 

 in einander übergehen, und unterscheidet man hierbei genau wie bei den 

 quadratischen Formen durch das Vorzeichen der Determinante die eigent- 

 liche und die uneigentliche Äquivalenz, so sieht man, dafs das zu einer 

 und derselben determinirenden Form gehörige System unter einander nicht 

 äquivalenter bilinearer Formen mit dem Systeme quadratischer Formen 

 der Determinante 9 im Wesentlichen übereinkommt. Da nun die Anzahl 

 der Werthe von 9, welche bei gegebenem Werthe von A eine positive 

 determinirende Form ergeben, begrenzt ist, so folgt, dafs die Gesammt- 

 anzahl aller unter einander nicht äquivalenter bilinearer Formen einer be- 

 stimmten positiven Determinante endlich ist, wenn man nur diejenigen 

 nimmt, für welche auch die determinirende Form positiv ist. Die arith- 

 metische Herleitung dieser Glassenanzahl bilinearer Formen ist es, welche 

 den Gegenstand der folgenden Paragraphen bildet, und es leuchtet schon 

 nach den bisherigen Ausführungen ein, dafs diese Glassenanzahl nichts 

 anderes ist, als die Summe von Classenanzahlen quadratischer Formen 

 für eine gewisse Reihe negativer Determinanten , die sich nur um voll- 

 ständige Quadrate von der Determinante der bilinearen Form unter- 

 scheiden. Diese Betrachtung wirft ein ganz neues Licht auf den Zusam- 

 menhang der einzelnen Determinanten jener Reihe, sie liefei't dafür eine 

 vinmittelbare zahlentheoretische Bedeutung und zeigt die naturgemäfse Ver- 

 bindung zwischen den einzelnen Gliedern der Reihe von Determinanten 

 auf, zu welcher mich lange vorher die Methoden der Analysis geführt 

 hatten. Aber diese Methoden haben zugleich die Anleitung dazu gegeben, 

 die Unterscheidungen in besondere Arten von Äquivalenz der quadrati- 

 schen oder der bilinearen Formen noch weiter zu führen, als es durch 

 Gaufs im Gegensatz zu Legendre geschehen ist, und es wird diese 

 weitere Unterscheidung jetzt vor allen Dingen anzugeben sein, um dar- 

 nach den wahren Begriff der Glassenanzahl festzustellen. Es dürfte hier 

 auch der Oi*t sein, mit kurzen Worten die allgemeinsten Gesichtspunkte 

 für die Unterscheidungen zu entwickeln, welche man bei dem arithme- 

 tischen Begriffe der Äquivalenz von Formen überhaupt machen kann. 



