über bilineare Formen mit vier Variahein. 7 



Ich knüpfe hierbei an die Methode an, welche ich in meiner Mit- 

 theihing vom 15. October d. J. für die Zerlegung eines beliebigen ganz- 

 zahligen Siibstitutionssysteras in elementare gegeben habe*). Wenn ein sol- 

 ches Substitutionssystem von der nten Ordnung die Determinante + 1 

 hat, aber sonst keinerlei einschränkenden Bedingungen unterworfen ist, 

 so kann es in eine Folge von n elementaren Systemen zerlegt werden, 

 von denen n- — l nur eine Permutation der Variabein x^,...x^^ bewirken, 

 während das ute die Transformation x^ -h x^ für x^ ergiebt. Da nun jede 

 Unterscheidung in verschiedene Arten von Äquivalenz auch für diese ele- 

 mentaren Systeme gelten mufs, andrerseits aber wegen der Zerlegung jedes 

 beliebigen Systems in elementare eine solche Unterscheidung der elemen- 

 taren Systeme selbst auch für die allgemeine Bestimmung der Äqui- 

 valenz hinreichend ist, so brauchen eben nur diese letzteren untersucht 

 zu werden. Zu diesem Behufe werde ich die verschiedenen Arten von 

 Äquivalenz als „unvollständige-' bezeichnen, um diese neue Begriffsbestim- 

 mung von der Gaufs'schen „uneigentlichen Äquivalenz" zu unterscheiden. 

 Eine Zusammensetzung einer endlichen Anzahl bestimmter Systeme, wel- 

 che unvollständige Äquivalenz constituiren, mufs stets ein solches ergeben, 

 für welches vollständige Äquivalenz stattfindet, denn die Anzahl der Ar- 

 ten soll endlich sein, und das identische System (x\ = .rj mufs natür- 

 lich stets als ein System für vollständige Äquivalenz gelten. Hiernach 

 bleiben nur folgende Bestimmungen möglich: eirstens kann erst die Zu- 

 sammensetzung von V Systemen (x\ = x^ ■+■ a;„) vollständige Äquivalenz 

 ergeben, und zweitens kann erst eine gewisse Folge von Systemen der 

 ersten Art zu einem Systeme für vollständige Äquivalenz führen. Die er- 

 stere Bestimmung liefert eine Unterscheidung der Transfoi'mationssysteme 

 nach den verschiedenen Resten, welche die Zahlenelemente modulo v las- 

 sen, die letztere Bestimmung ergiebt eine Unterscheidung nach den ver- 

 schiedenen Permutationen der Variabein, welche man erhält, wenn man 

 nach der Zerlegung eines beliebigen Systems in elementare alle diejeni- 

 gen wegläfst, welche zu der Transformation x[ = Xj^-\- x., gehören. 

 Grade diese letztere Weise der Unterscheidung vollständiger und unvollstän- 

 diger Äquivalenz ist sehr bemerkenswerth, weil sie bei der Behandlung 



*) Vgl. den Monatsbericht vom October 1866, S. 608 und flgde. 



