über hilineare Formen mit vier Variahehl. 11 



§3. 



Auch auf die Reduction der Formen hat die Unterscheidung 



zwischen vollständiger und unvollständiger Äquivalenz einen wesentlichen 



Einfluss, da nicht für jede Form eine ihr vollständig äquivalente existirt, 



welche den gewöhnlichen Lagrange'schen Bedingungen reducirter Formen: 



genügt. Aber es läfst sich für jede Form eine ihr vollständig äquivalente 

 bestimmen, deren Coefficienten a^^b^, c^ die Bedingungen : 



2 > 7^2 „2 > h2 



"ö = "o ' ^0 = "o 



erfüllen. Denn wenn a^ <; b^ ist, und eine grade Zahl ß so bestimmt 



wird, dafs: 



(aß-\-by^a' 



wird, so ist die durch die Substitution ( f, , ) aus (a ,h , c) hervorgehende 



Form : 



(a , aß + b , aß^-{-2bß-hc') , 



welche durch (a^,b^,c^) bezeichnet werden möge, der Form (a,b,c) 

 vollständig äquivalent, und da: 



(a/3-f-6y^rt^<6^ , also: a{aß^-\-2bß)<:0 



ist, so wird für positive Werthe von a und c: 



6j ^ «j = a , c^<Cc , folglich: a^c^ <; ac . 



Ist nun cl<Cbl, so wird die Form (a^,b^,c^) durch eine Substitution 



I . ) , in welcher y eine durch die Bedingung: 



(c^y + b;)'^cl 



bestimmte grade Zahl bedeutet, in eine Form (a^ , b^ , c^) transformirt, 

 deren Coefficienten den Bedingungen: 



«2 < «1 ? b^^c^ = c^ , also a^c^ < a^c^ 



genügen. Durch Fortsetzung dieses Transformations-Verfahrens, bei wel- 

 chem das Product der beiden äusseren Coefficienten stets verkleinert wird, 

 muss man also, da dieses Product nicht kleiner als der absolute Werth 

 der Determinante werden kann, schliesslich zu einer der ursprünglichen 



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