über hilineare Formen mit vier Variabein. 15 



Dabei können folgende Fälle eintreten: 



1, 0^26„^a,^c„, 3, 0^a,^25„^c, , 5, ^ a, ^ c„ ^ 26„ , 



2, 0^2Ö„^c„^a„, 4, 0^c„^2Ä„^«„ , 6, o^c„^a„^25„ , 



und es ist dann je nach den sechs unterschiedenen Fällen je eine der 

 sechs Formen: 



l,(«o> ^o'O' 3, (a„,6,— a„,«„— 26„+c„), 5,(ß,— 2J„-4-c„,ö,— 6„,«J, 

 2, (Cü5 — *o5«o)5 4, (c, , c„— 6^ , a^ — 26,+cJ , 6, (rt^_26„+c„, 6,— c,, öJ, 



und zwar in der entsprechenden Reihenfolge, eine Lag ränge 'sehe Redu- 

 cirte. 



§5- 

 Es ist im vorigen Paragraphen gezeigt worden, dafs sich stets eine 

 Lagrange'sche Reducirte unter den ersten 6 mit («^,6^,0^) zusammen- 

 gehörigen Formen befindet, wenn (a^ , b^ , c^) keinen negativen Coefficien- 

 ten hat und eine Reducirte (im hier eingeführten Sinne) ist. Wenn also 

 eine andere Reducirte mit lauter nicht negativen Coefficienten (a^ , b'^ , c^) 

 der Reducirten {a^,b^^,c^ vollständig äquivalent ist, so mufs nicht nur 

 unter den 6 ei-sten*) mit (a'^^b'^,c'^ zusammengehörigen Formen, sondern 

 auch unter den 6 ersten von denjenigen, welche als mit (0^,6^,0^) zu- 

 sammengehörig bezeichnet sind, eine Lagrange'sche Reducirte von 

 (flg , 6g , Cg) vorkommen. Giebt es mehr als eine Lagrange'sche Redu- 

 cirte, so unterscheidet sich die eine von der andern nur durch das Vor- 

 zeichen des mittleren Coefficienten**), und da genau derselbe Unterschied 

 zwischen je einer der 6 ersten und je einer der 6 folgenden***) zusam- 

 mengehörigen Formen besteht, so folgt zunächst, dass eine und dieselbe 

 Lagrange'sche Reducirte von («^,6^,6^) sowohl unter den 12 zusam- 

 mengehörigen Formen von (a^ , b'^ , cj) als auch unter denen von («^ , b^ , cj 



*) Es sind dies die oben mit (31') bezeichneten Formen. 

 **) Vgl. Gaufs, Disquisitiones Arithmeticae art. 172. 

 **) Es sind dies die oben mit (91") bezeichneten Formen. 



