20 Kronecker: 



Summe der beiden äufseren Coefficienten grade ist. An Stelle der Be- 

 dingung, dafs mindestens einer der beiden äufseren Coefficienten ungrade 

 sein soll, kann also die Bedingung, dafs deren Summe ungrade sein soll, 

 eingeführt werden; die Anzahl der verschiedenen Classen einander nicht 

 vollständig äquivalenter Formen (a,b,c), für welche diese Bedingung: 



rt-f-c = 1 (mod. 2) 

 erfüllt ist, wird alsdann durch 8F(«) ausgedrückt. Hiernach kann F(n) 

 dadui'ch definirt werden, dafs 



2F(«) gleich der Anzahl der Systeme von Zahlen a,b,c ist, 

 wofür ; 



ac — b" = n , c >■ « ^ ö ^ , a + c = l (mod. 2) 



wird, wenn diese Systeme im Allgemeinen 2 fach, 



aber für a ^= b oder 6 = Ifach 



gezählt werden. 



Dabei ist zu bemerken, dafs hier der Fall « = c wegen der Bedingung 

 rt-f-c = 1 (mod. 2) nicht eintreten kann. 



Die Beziehung zwischen der hier gegebenen Definition von F(?i) 

 und ihrer Bedeutung als Classenanzahl läfst sich auch direct durch fol- 

 gende Betrachtung darlegen. Die Systeme (rt,i,c), wofür: 



ac — b^ = 71 , c >> « ^ 6 ^ , a + c = 1 (mod. 2) 

 ist, können in drei Gruppen getheilt werden, je nachdem: 



a^2b oder a<C'2b^c oder a<Cc <:iib 

 ist. Diesen 3 Fällen entsprechend sind alsdaim beziehungsweise der Form 

 (a,b,c) vollständig oder unvollständig äquivalente Lagrange'sche Re- 

 ducirte : 



1, (a, b, c) , 



2, (ö , b — a , a — 2 /> + c) , denn es ist 2 (a — b)<::a^a — 2 i + c , 

 3^ (ö — 2b + c , ( — iy{b — a) , a), denn es ist 2(o — b) ^a — 2b-\-c<:a. 



Andrerseits werden sämmtliche Lagrange'sche Reducirte eigentlich pri- 

 mitiver oder von solchen abgeleiteter Formen durch diejenigen der 3 

 Gruppen erschöpft. Denn die erste Gruppe enthält alle diejenigen, wo- 



