über hilineare Formen mit vier Variahein. 21 



für der mittlere Coefficient positiv and einer der beiden äufseren Coef- 

 ficienten grade ist, die dritte Gruppe enthält diejenigen, wofür der mitt- 

 lere Coefficient positiv und keiner der beiden äufseren Coefficienten 

 grade ist, sowie diejenigen, wofür der mittlere Coefficient negativ und der 

 dritte Coefficient grade ist, während endlich diejenigen, wofür der mitt- 

 lere Coefficient negativ und der dritte Coefficient ungrade ist, die zweite 

 Gruppe füllen. 



Jedem System (a ,b , c), wofür ac — b' ^=^ n, cZ> a'^b'^0 und 

 rt H- c = 1 (mod. 2) ist, entspricht im Allgemeinen ein zweites (^a',b',c'), 

 in welchem, wenn a ungrade ist, 



b'=c—b 

 und a' der kleineren, c' aber der gröfseren von den beiden Zahlen a — 2b-\-c 

 und c gleich zu nehmen ist. In analoger Weise sind, wenn c ungrade 

 ist, für b', a', c' die Zahlen : 



a — b , ({ — 2 b -\- c , a 



zu nehmen. Solche zwei entsprechende Systeme (a , b , c) liefern eine 

 und dieselbe Lagrange'sche Reducirte; aber die beiden Systeme sind in 

 besonderen Fällen identisch. Um dies genauer darzulegen, seien («^ , b^^ , c^) 

 die sämmtlichen Systeme von Zahlen, welche die Bedingungen: 



«0^0 — bl = n, c, >- ff, ^ 6„ ^ , «,„ 4- c, = 1 (mod. 2) 



erfüllen, und (ff ^ , i, , cj die Systeme von Zahlen, für welche 



a,c, — b' ^=: n , c > ff > 26 > und nicht «, und c, zugleich cjrade 



11 1 ~ 1 1 — 1 1 100 



ist. Setzt man nun für irgend eines der Systeme (a^ , b^, c^): 



oder : ff, = a, , ä^, = ff ^ — b^ , c^ = a^ — 2b^-\- c^ 



oder: o, ""^ ^1 ■> ^u "^^ <^i — ^1 5 ^o ^^ ^1 — -^1 + ^1 5 



so sind die für %,b^,c^^ festgesetzten Bedingungen: 

 «0^0 — ^0 = « , c,>.o3 6,^0 

 stets erfüllt, aber die Bedingung «, + (?,= 1 (mod. 2) nur bei genau 2 

 von den gemachten Annahmen. Geht man andrerseits von einem der 

 Systeme («„ , ^0 5 O ^^^^ ^'^ wird stets durch eine und nur durch eine 



