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dei' geraachten 3 Annahmen ein Systena (a^ , h^ , cj definirt, welches den 

 dafür festgesetzten Bedingungen genügt. Je einem System ((f^,b^,c^) 

 entsprechen daher genau je zwei Systeme (a^,b^,c^); und dies findet 

 auch für die Grrenzfälle: 



a^ = b^ oder i^, = 

 Cj = a^ oder a, = 2^, oder b^ = 

 statt, wenn man die Zahlensysteme (a , b , c) überhaupt zweifach, in die- 

 sen Grenzfällen aber nur einfach zählt. In den Grenzfällen: 

 a^ = b^ oder b^ = wird nämlich stets 6j == , 

 während für die Grenzfälle: 



Cj = öj oder «, = 2b^ 

 die 2 entsprechenden Systeme (a^ , 6„ , cj mit einander identisch werden, 

 nämlich : 



(«u 5 ^0 . O = («1 ^ «1 — ^1 ' 2(rt, — bj) für ff^ = c, 

 («0 , ^ . O = (26j , 6j , cj für «j = 2 6^ ; 



und jedes dieser Systeme ist zweifach zu zählen, sobald nicht a^ = b^ 

 oder 6„ = wird, ein Fall, der nur eintritt, wenn: 



«j = Cj und Zij = also «„ = 6^ , c,^ = 2«„ 

 wird. In diesem einzigen Falle entspricht also einem nur einfach zu 

 zählenden Systeme (a^ , b^, cj auch nur ein einziges, ebenfalls einfach zu 

 zählendes System (%, b^^, cj. Sobald daher Systeme: 



(a , , «) 

 unter den Systemen {a^,b^, c^), oder also Systeme: 



(a , a , 2 «) 

 unter den Systemen (a^,b^,c^) vorkommen, d. h. also sobald n — da 

 a- = n sein mufs — ein ungrades Quadrat ist, wird die Anzahl der Sy- 

 steme (ö^, , 6„ , c,,) um eine Einheit kleiner als die doppelte Anzahl der 

 Systeme (o, , b^ , cj. 



Die Anzahl der Systeme (a^ , b^ , c^ ist, wenn jedes dieser Systeme 

 zweifach, in den Grenzfällen a^ = Cj , «j = 2^^ , 6^ = aber einfach 

 gezählt wird, genau gleich der oben mit F(ii) bezeichneten, im Gaufs- 

 schen Sinne genommenen Classenanzahl der eigentlich primitiven und der 



