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als „Reducirte'', so sind deren Coefficienten gemäfs § 3 durch die Ungleich- 

 heitsbedingnngen : 



\A\^y,\B-C\ , \D\^\\B-C\ 



und durch die Bedingung, dafs die oben mit 9 bezeichnete Determinante 

 der quadratischen Form Ax^-\-{B — C)xy-\-Dy- negativ sein soll, be- 

 stimmt. Diese letztere Bedingung ergiebt, dafs AD> \{B — Cy sein 

 mufs, und die Coefficienten reducirter hilinearer Formen sind daher einzig 

 und allein an die Bedingungen: 



\A\■^^^B-C\ , \D\^i\B-C\ , AD>o 

 gebunden, d. h. an die Bedingungen, dafs die beiden äufseren Coefficien- 

 ten gleiches Vorzeichen haben sollen, und dafs deren absoluter Werth von 

 demjenigen der halben Differenz der beiden mittleren Coefficienten nicht 

 übertroffen werden darf. Doch ist noch hinzuzufügen, dafs nicht zu- 

 gleich \A\ und \D\ dem Werth e ^\B — C\ gleich werden darf, da als- 

 dann \AD\ nicht gröfser als der Werth von ^(B — C)-, sondern demsel- 

 ben gleich wäre. 



Nach § 5 sind nur in den beiden Grenzfällen: 



\A\=^l\B-C\, \D\ = i\B-C\ 

 zwei Reducirte einander vollständig äquivalent, nämlich diejenigen zwei, 

 welche sich nur durch das Vorzeichen des Werthes der Differenz B — G 

 von einander unterscheiden; es ist demnach nur je eine dieser beiden 

 Formen unter die Repräsentanten der verschiedenen Classen bilinearer 

 Formen aufzunehmen. Da überdies je zwei bilineare Formen derselben 

 Determinante AD-{-BC durch Veränderung des Vorzeichens aller Coeffi- 

 cienten aus einander entstehen, so braucht man nur alle Zahlensysteme 

 (A,B,C,D) zu suchen, welche den Bedingungen: 



AD + BC ^ A , A^^(B — C)^o , D^l{B — C)^o , AD>o , 



genügen, und im Allgemeinen die 4 Formen: 



iA,B,C,D) ; {A,-B,-C,D) ; (-A ,-{-B ,+C ,-D) ; 

 (-A,-B,-C,-D) , 



in den Grenzfällen aber, wo .4 = i (ß — C) oder D ^= \(ß — C) oder 

 B — C ;= ist, nur die erste und letzte der 4 Formen unter die Reprä- 



