über bilineare Formen mit vier Variahein. 27 



sentanten der verschiedenen Classen bilinearer Formen aufzunehmen. Die 

 Anzahl der Classen wird hiernach gleich der doppelten Anzahl der durch 

 die Bedingungen: 



(ß) AD-hBC=A , A^i(ß— C)>o , Z)^i(ß_C)>o 

 und der durch die Bedingungen: 



(33') AD-hBC^^ , A>^(B — C)^o , i)>i(5— C)^o 



bestimmten Systeme. Denn die den Ungleichheitsbedingungen: 



4>.i(ß— C)>o , i)>i(i5_C)>o 



genügenden Zahlensysteme kommen in den beiden Arten jener Systeme 

 vor, diejenigen aber, für welche einer der Grenzfälle il =: 1(5 — C) oder 

 I) =^ \(B — C) oder ß — C = eintritt, sind nur in einer jener beiden 

 Arten inbegriffen. Dabei ist zu bemerken, dafs nicht zwei dieser Grenz- 

 fälle zugleich eintreten können. Denn da AD > ist, kann nicht eine 

 der beiden Zahlen A,D gleich {\B — C) und B — C^O sein; ferner 

 kann auch nicht: 



A = D = \{B—C) 



sein, weil dieser Fall — der übrigens nur eintreten könnte, wenn AD-{-BC, 

 d. h. also der Werth von A ein vollständiges Quadrat ist — wie schon 

 oben bemerkt worden, durch die Bedingung: 



AD>^(B—C)' 

 ausgeschlossen wird. 



Den Bedingungen (23) ist hiernach noch die Ungleichheitsbedingung : 



A — B + C-\-D>o 



hinzuzufügen, und wenn man die Anzahl der verschiedenen Classen bili- 

 nearer Formen der Determinante A mit 67(A) bezeichnet, so wird C/(A) 

 gleich der doppelten Anzahl der den Bedingungen: 



(ß°) A^i(£— C)>o , Z)^x(ß— C')>o , A — B-hC-\-D>o, 



und der den Bedingungen 



(23') 4>l(ß— C)^0 , /)>^(ß — Q^O 



genügenden Formen : 



Ax^y^-^Bx^y, — Cx,y^-{-Dx.,y.^ 



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