über hilineare Formen mit vier Variabein. 33 



Hieraus zeigt sich zuvörderst, dafs: 



F^ = Q, , P, = Q^ , /?,==: i?, , >S, = S, 

 und also: 



P+Q-R-S^ P„+Q„.-Ä„-S„ + 2(P, + Q,-i?,-,S,) 



ist. Aber es linden zwischen den Zahlen P, Q , P , S auch noch andere 

 weniger nahe liegende Beziehungen statt. Um diese aufzuzeigen, bilde ich 

 aus einem Systeme 



a , ß , y , ^ ein zweites: a', ß' , y' , ^' 



mittels der Relationen: 



a = a' , ß=ß' 



y = 2ma-\-y' , <5' = 2m/3 H- (5' 



wo m positiv so anzunehmen ist, dafs 7' > und ^ 2a wird. Der Fall 

 7' = 2a tritt nur ein, wenn 7 ein Vielfaches von 2a ist. Diesen Fall 

 ausgenommen, erfüllen die Zahlen a',/3',7',^' die Bedingungen: 



a' > , 7' >- , /3' >. , <5' > , 7' < 2a , 



wenn a>0 , 7>0 , ß >0 , (^>0 ist. Aber wenn für ^ nur die 

 Bedingung §^0 angenommen wird, so kommt für m = noch der Fall 

 ^' ^ hinzu. Ebenso läfst sich umgekehrt aus dem Systeme a',ß',y',§' 

 ein System a , /3 , 7 , ^ ableiten, sobald man m so bestimmt, dafs: 



S'^2mß'-h^ und ^^2ß' , <^>0 , 

 oder dafs dabei (^< 2/3' , S ^ wird. 



Es entspricht also einer jeden von denjenigen Lösungen der Gleichung: 

 Math. Cl. 1883. Abb. II. 5 



