über bilineare Formen mit vier Variahein. 37 



§ 13. 



Nach § 1 1 bedeutet K die Anzahl der Zahlensysteme (a , /3 , y , ^), 

 welche die Bedingungen: 



(Ä) A = a2 + «^+/37 , a>0 , 7>0 , 2/3 ^ (5-> , 



7 = (mod. 2«) 



erfüllen und L die Anzahl der den Bedingungen : 



(8) A = fr + a(^+/37 , « > , y >- , 2/3 > (5^0 , 



y = (mod. 2«) 



genügenden Systeme (a,/3,y,^). Setzt man demgemäfs: 



y = 2m« , 

 so wird: 



A == «(a -h (5 + -Imß) 



und wenn man noch die Bezeichnungen: 



«1=9 , a -\- ^ -\- imß = d 

 einführt, so gehen die obigen Bedingungen (Ä) und (?) in folgende über: 



(1) A = (Z3 , rZ>9>-0 , 2m/3<r/ — 9^ 2(m-|-i)/3 , m>o , 

 («) A =: (^9 , rf>>9>0 , 2m/3^f/ — 9<:2(hH-i)/3 , m>0 . 



Hiernach können in beiden Fällen für d nur alle gröfseren, d. h. alle 

 den Werth von 1/a übersteigenden positiven Divisoren von A und für 9 

 die complementären (kleineren) Divisoren genommen werden. Ferner 

 kann /3, wenn d — 9 ungrade ist, in beiden Fällen die sämmtlichen 

 Werthe : 



1,2,3, ....\(d — 'd—\) 



annehmen, und für jeden dieser Werthe giebt es einen und nur einen den 

 Ungleichheitsbedingungen (ä) und (8^) genügenden Werth von m. Die 

 Gesammtanzahl der den Bedingungen (Ä) und der den Bedingungen (8) 

 genügenden Werthsysteme (m , /3) ist demgemäfs : 



f/ _ 9 _ 1 . 



Wenn aber d — 9 grade ist, so kann unter beiden Bedingungen (jt) und (ö): 



