über bilineare Formen mit vier Variabein. 39 



Setzt man: 



so gehen die Bedingungen (5Jf) und (^^ in folgende über: 



Dabei ist zu bemerken, dafs die Bedingung << 3 unter den mit (^) be- 

 zeichneten Bedingungen zwar nicht explicite vorkommt, aber aus der 

 durch Summation der Ungleichheiten 



A>\(B—C) , A — B—C>\{B—C) 



entstehenden Bedingung : 



(/ + 3>5 — C, 

 unter Berücksichtigung der Bedingungen: 



B — C^Q , (i3 = A>o, 

 resultirt. 



Die Anzahl der für bestimmte Werthe von d und 3 den obigen 

 Bedingungen genügenden Zahlen A ist, wenn d — 3 ungerade ist, sowohl 

 für (TIq) als für (^fl^) genau gleich 23; wenn aber d — 3 gerade ist, so 

 ist jene Anzahl für die Bedingungen (SJio) gleich 23+1, und für die 

 Bedingungen (ßl^) gleich 23 — i. 



Die Zahlensysteme d und 3 unterliegen den Bedingungen: 



(iio) dd = A , d<cd , 



(9to) dd=^A , d^d ; 



es sind also in beiden Fällen für d alle gröfseren positiven Divisoren 

 von -1 und für 3 die complementären kleineren zu nehmen; aber wenn 

 A ein vollständiges Quadrat ist, mufs bei den Bedingungen (ßt^) auch noch: 



d = d = ]/Ä 

 genommen werden. 



Die Zahlen M und N bestimmen sich hiernach so, dafs: 



M-{-N :^ w-\-iXd (<i8 = A,d>8>0) 



d 



wird, wenn lo für den Fall, dafs A ein vollständiges Quadrat ist, gleich: 



— 1 + 2 yÄ , 



sonst aber gleich Null genommen wird. 



