über hüineare Formen mit vier Variahein. 45 



ist, und n. eine beliebige ganze positive Zahl, m aber eine ungrade po- 

 sitive Zahl bedeutet. 



In dem ersten dieser drei Fälle läfst der Ausdruck noch eine 

 Vereinfachung zu. Da nämlich für den Fall Ä: ^ 2: 



$(2'T'm) = (2'-' — l)*('m) = (2*-'— l)X(A) 



ist, so erhält man: 



2*-+'X(A) = 4X(A)-f-4*(J-A) , 

 also : 



(r.') 1 C7(A) = 4 X (m) + 2 * (u) H- 2 *(/0 , 



wo, wie oben, n = ^^A gesetzt ist. 



§19. 

 Nimmt man die Bedingung i:> + C = (mod. 4) hinzu, so hat man 

 im § 11 die Einschränkungen zu machen, dafs die Zahlen: 



grade sein sollen. Bei den einander „entsprechenden" Systemen: 



a,ß,yj und «', /3', 7', Ä' 



erfüllen alsdann auch gleich viele jene einschränkende Bedingung. Denn 

 Avegen dieser Bedingung kann ein und dasselbe System (a , /3 , 7 , (5) nur 

 dann zugleich unter denjenigen Systemen, welche den Index 1, und un- 

 ter denjenigen, welche den Index 2 haben, vorkommen, wenn ß gi-ade 

 ist, und in diesem Falle kommt auch das „entsprechende" System 

 (0: , /3 , 7 — 2ma , (J'-f-2?n,ß) zugleich unter den Systemen («1 , /3i , 7I , ^i) 

 und («2 , /32 , 72 , 1^2) vor. Wenn aber ß ungrade ist, so kann, weil dann 

 nur eine der beiden Zahlen: 



grade ist , ein und dasselbe System « , /3 , 7 , (J nur unter einem der bei- 

 den Systeme («i , /3i , 71 , 1^1) , (aj , ß., , 72 , (^'2) vorkommen , und ebenso 

 mufs das „entsprechende" System (a', /3', 7', <^') unter einem und nur 

 einem der beiden Systeme {a[ , ß\ , 71 , ^{) , («ö , /32 , 72 , (^2) enthalten sein. 

 Hieraus folgt, dafs auch unter der weiteren einschränkenden Bedingung: 

 B -f- (' = (mod. 4) , 



