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während die drei letzten Werthe von J-(7(A) in § 20 zu den drei Rela- 

 tionen : 



XF(16« — 4/i-) = 4X(».) + 2$(») 4- 2-*(«) , 

 /. 



(JK'") X F (8 m — 4 Ir) = 4 * (7») , 



I: 



X F (im — 4 fr) = * ('/».) H- ■* (m) 



h 



führen. Diese Relationen (,^t"') gehen freilich aus den mit (ß!) bezeichne- 

 ten mittels der Fundamental -Relation: 



F(4??)-= -lY{n) 

 unmittelbar hervor; aber eben diese Fundamental -Relation ist anderer- 

 seits, wie ausdrücklich hervorgehoben werden mufs, ebenso unmittelbar 

 aus der Verbindung der Formelsysteme (9t') und (9t") herzuleiten. Auch 

 ist zu bemerken, dafs die andere Fundamental -Relation: 

 G(4?i) = F(4/;) -h G(n) 



in ähnlicher Weise aus der Verbindung der Formel (9t) mit den Formeln 

 (9i') abgeleitet werden kann. 



§22. 



Es soll nunmehr gezeigt werden, wie aus den vorstehenden Ent- 

 wickelungen jene interessante Beziehung zwischen der Zerlegung der 

 Zahlen in die Summe von 3 Quadrate und der Classenanzahl quadrati- 

 scher Formen von negativer Determinante folgt. Es ist nämlich diese 

 Beziehung in dem Ausdrucke für die Classenanzahl der bilinearen Formen 

 implicite enthalten, so dafs also in den obigen arithmetischen Deductio- 

 nen ein neuer Beweis für jenen erwähnten Satz liegt, der von Legen dre 

 auf dem Wege der Induction gefunden aber erst von Gaufs mittels der 

 Theorie der ternären Formen bewiesen worden ist. 



Setzt man oben in der Formel (9t) des vorhergehenden Paragra- 

 phen A = u und sabtrahirt alsdann diese Formel von der ersten der 

 drei mit (9t') bezeichneten Formeln, so kommt: 



