über hilineare Formeln mit vier Variahehi. 51 



2 (2 F (4 » — li") — (I (4 n — h')) = 2 X («) (_2 j/« 5 /, 5 2 ,/«) , 



oder wenn für jede ganze positive Zahl ii: 



2F(») — G(n) = E(vO 

 gesetzt wird: 



(?R°) XE(4» — /O = 2X(;0 (/,, = o,±i,±2,...:Ä=£4«). 



Nun finden für die hier an Stelle von F(/() und G(«) eingeführte zahlen- 

 theoretische Function E(/?) die einfacheren Beziehungen statt: 



E(4h)-=E(«), 

 E(h) = F(h) wenn «=1,2 (mod. 4) ist, 

 E(n) = -s-FC«) wenn n = 3 (mod. 8) ist, 

 E (n) = wenn n = 7 (mod. 8) ist. 



Hiernach wird: 



^E(4n— 4/t^) = i;E(n— A-) (a = o, ± i, ±2, ... ; h'-^n), 



I, h 



und wenn n grade ist: 



]^E(4?i k-) = (A- = ±l,±3,±5,... ; yt2<4»1, 



wenn aber n ungrade ist: 



^E(4« k-) = -IXF(4». — ^'0 (k = ±l,±2,±b,...;F^<4,>). 



k '' k 



Es wird daher, da die Summe auf der linken Seite der Gleichung (JR°) als : 



dargestellt werden kann : 



(?ii°°) X E (// — /r) = 2 X («) (Ä = , ± 1 , ± 2 , ... ; A= ^ ,0, 



h 



falls « grade ist, während für ungrade Zahlen n: 



wird. Da nun: 



^Y(in — k') = 2;F(4n— /)— XF(4«— 4/^^) 



*^ •" '' /y = 0,±1,±2, ... ; g" ^in\ 



oder also: I /i = o,±i,i:2,... ; h^^n j 



^F(4«— yl-0 = i:F(4n— ^^) — 2VF(«— /r) Vx- = ±i.±3,±5,...;A-<4«/ 



k a >' 



ist, und der Ausdruck auf der rechten Seite der letzten Gleichung gemäfs 



