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der ersten und dritten der mit (9t') bezeichneten Formeln des § 21 den 

 Werth: 2XQi) hat, so resultirt für ungrade Zahlen u die Relation: 



(ß°') 2E(" — ^0 = -|X(n) (h = 0,±l,±2,...;h^±n). 



n 



Die beiden Relationen (3i°°) und (9t°') können in die eine Gleichung: 



32E(n— A") = 2(2 + ( — l)")X(n) (A = o,±i,±2,...;A2^«) 



h 



vereinigt werden. Da nun 8(2 + ( — l)'')X(n) nach jenem von Jacobi 

 am Schlüsse seiner „Fimdamenta" bewiesenen Satze*) genau die Anzahl 

 der Zerlegungen von n in vier Quadrate angiebt, so ist 



122-E('i /i') (/, = 0, ±1,±2,... ; Ä==n) 



h 



gleich der Anzahl der Systeme von Zahlen h,h^,h.,,h^, wofür: 



n = h- -h hl -i-hl-hhl 



wird. Diese Anzahl ist aber oifenbar gleich der Gesammtanzahl der Zer- 

 legungen aller positiven Zahlen 



n — Ir (/* = o,±i, ±2, ...) 



in Summen von drei Quadraten. Wenn daher die Anzahl der Zerlegun- 

 gen einer Zahl m in drei Quadrate mit A(m) bezeichnet wird, so ist: 



2A(n — /r) = i22E(n — /r) (A = o,±i,dz2,...: /»= ^«), 



h h 



und da man in dieser Formel von einer beliebigen Zahl n ausgehen kann, 

 so folgt, dafs fiir jede Zahl u: 



A(n) = 12 EC«) 



ist, und dafs also durch 12E(n) die Anzahl der Zerlegungen einer Zahl 

 n in drei Quadrate ausgedrückt wird. Dieses Resultat ist mit demjeni- 

 gen übei-einstimmend, welches Gaufs im Art. 291 der Disqq. arithm. ge- 

 geben und dort nur je nach den verschiedenen Zahlformen von n ver- 

 schieden forraulirt hat. Dafs sich daraus auch die Anzahl der Zerlegun- 

 gen einer Zahl u in drei Triagonalzahlen ergiebt, bedarf kaum der Er- 

 wähnung. Die Anzahl dieser Zerlegungen wird durch die Function 

 F(8/i+3) ausgedrückt. 



*) Vgl. auch die auf S. 4 citirte Dirichlet'sche Herleitung des Jacobi'schen 

 Satzes. 



