56 Kronecker: 



Um nunmehr die Äquivalenz der beiden Formelsysteme: 



J(i),(ii),(iii), (IV), (V),(Vi)) , ((JH\J , (S,J, (®3 J> (3:, J , (^. J , (3:j) 



darzuthun, bedarf es, da: 



(I) - (ßj , (11) = (6, J , (III) := (J,J , (V) =. (®,„) , (VI) = CiJ 



ist, nur noch des Nachweises, dafs die Formel (IV) aus dem Formelsy- 



{(.KJ , C3,J , (3, J , (%J , (S, J , (JJ) , 

 und ebenso die Formel (ß.^,J aus dem Formelsysteme: 



((I) , (II) , (III) , (IV) , (V) , (VI)) 

 abzuleiten ist, und dieser Nachweis wird einfach durch die Gleichung: 

 (IV) ^ 3(9t,J-4(e,jHh(@J + (lU-3(3SJ-(2ß;'J 



geführt. Hier bedeuten auch (I) , (II) , ... ebenso wie (9t^^) , (©4„,) , ... 

 die Differenzen der auf beiden Seiten der betreffenden Gleichung stehen- 

 den Ausdrücke. 



Die mit (I) , (II) , (III) , (IV) , (V) , (VI) bezeichneten Formeln für 

 die Classenanzahlen quadratischer Formen von negativer Determinante, wel- 

 che mir ursprünglich die Theorie der complexen Multiplication der ellip- 

 tischen Functionen geliefert hat, haben also in der That durch die Theo- 

 rie der bilinearen Formen mit vier Variabein ihre arithmetische Be- 

 gründung gefunden. 



§ 24. 

 Die Classenanzahlen der bilinearen Formen mit vier Variabein 

 lassen sich in sehr eleganter Weise als Entwickelungscoefficienten darstel- 

 len. In der That folgt aus der Hauptformel (^P) S. 42 : 



(30 s:67(»)..r''=V ^^ + ^"''^^""+^"" + ^^ («=1,2,3,4,...). 



Aber für diejenigen bilinearen Formen, bei denen wenigstens einer der 

 beiden äufseren Coefficienten ungrade und die Summe der beiden mittle- 

 ren grade ist, soll die Darstellung der im § 10 mit C7(A) bezeichneten 



