388 SÉANCKS DU LA SOCIÉTÉ DE NfilUCHATEL. 



tes, prolongées suffisamment, se rencontreront; » ou ce qui 

 revient au même : » Par un point donné, on ne peut mener 

 qu'une parallèle à une droite. » 



Bien des géomètres ont tenté de démontrer à priori 

 l'axiome XI d'Euclide. Tout dernièrement encore a paru une 

 démonstration, assez concluante de prime abord, due à 

 M. Frolov, membre de la Société mathématique de France. 

 Mais ces démonstrations reviennent, en général à admettre 

 que la droite n'a qu'un point réel à l'infini. Or celte hypo- 

 thèse est une conséquence de l'axiome XI, et l'on tourne 

 ainsi dans un cercle vicieux. « Il faut, dit Hoûel, reléguer 

 parmi les chimères l'espoir que nourrissent encore tant de 

 géomètres de parvenir à démontrer le postulat d'Euclide au- 

 trement que par l'expérience. Désormais ces tentatives de- 

 vront être mises au même rang que la quadrature du cercle 

 et le mouvement perpétuel. » Le but des non-Euclidiens est, 

 au contraire, de prouver qu'il n'existe à pnon aucune raison 

 d'affirmer qu'on ne puisse mener, par un mê.ïie point, qu'une 

 seule droite ne rencontrant pas une droite donnée dans le 

 même plan. D'illustres géomètres, Legendre et Gauss entre 

 autres, ont fait des recherches dans ce sens. Le premier a 

 cherché à montrer que la somme des angles d'un triangle 

 reciiligne quelconque équivaut à deux droits, sans s'appuyer 

 sur \e hii puvemenl expérimental que, par un point donné, 

 on ne peut mener qu'une parallèle à une droite donnée. La 

 théorie des parallèles avait aussi été, pendant plus d'un demi- 

 siècle, l'objet de méditations de Gauss, comme cela ressort de 

 plusieurs passages de sa correspondance avec Schumacher. 

 Le 17 mai 1831, il écrivait : <• Depuis quelques semaines, j'ai 

 commencé à mettre par éciit quelques résultats de mes pro- 

 pres méditations sur ce sujet, qui remontent en partie à qua- 

 rante ans. et dont je n'avais jamais rien rédigé, ce qui m'a 

 forcé trois ou quatre fois à recommencer tout le travail dans 

 ma tête. Je ne voudrais pourtant pas que tout cela pérît avec 

 moi! » Malheureusement pour la géométrie, Gauss ne donna 

 pas suite à ce beau projet, et à l'exception de quelques no- 

 tices dispersées dans les Gelehrtc Anzeigen de Gœltingue, 

 tout a péri avec lui. Le 28 novembre 1846, il écrit encore : 



